2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲基本不等式(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲基本不等式(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了已知，则的最小值为，基本不等式可以推广到一般的情形等内容，欢迎下载使用。
D．的最小值为9
10．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
三、填空题
11．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为
12．（2024上·山西运城·高一统考期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
13．（2024上·浙江温州·高一统考期末）近年来，“无废城市”、“双碳”发展战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的密集出台对厨余垃圾处理市场需求释放起到积极作用某企业响应政策号召，引进了一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目已知该企业日加工处理厨余垃圾成本单位：元与日加工处理厨余垃圾量单位：吨之间的函数关系可表示为：.
(1)政府为使该企业能可持续发展，决定给于每吨厨余垃圾以元的补助，当日处理厨余垃圾的量在什么范围时企业不亏损
(2)当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低
14．（2024上·四川成都·高一统考期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
B能力提升
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
3．（2024·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
4．（2024上·江西上饶·高一校考期末）已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为 .
C综合素养
5．（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值.
提示：基本不等式，
(1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，求函数的最小值.
6．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
第03讲 基本不等式 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）当时，的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2．
故选：C．
2．（2024上·广东潮州·高一统考期末）设，则函数的最小值为（ ）
A．6B．7C．10D．11
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【详解】，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为，
故选：D.
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为x，y为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
4．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知正数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得，，则， ，即，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
5．（2024上·山东滨州·高三统考期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式对任意恒成立，则，成立，
而，当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：B
6．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.
故选：B．
7．（2024上·广西·高一校联考期末）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
故选：B
8．（2024上·湖南·高一校联考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.
【详解】由重要不等式得，当且仅当时取等，
解得，显然A正确，
故选：A
二、多选题
9．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．，则的最小值是2
B．，则的最小值是
C．，则的最小值是1
D．的最小值为9
【答案】BD
【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案.
【详解】对于A，当时，，A不正确；
对于B，，令，则，
由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，B正确；
对于C，令，由得，，
由对勾函数的单调性可知，当时，为增函数，所以的最小值是，C不正确；
对于D，由可得，，
当且仅当，即时，取到等号，D正确.
故选：BD.
10．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
【答案】ACD
【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确.
【详解】时有，则，
当且仅当，即时等号成立，A选项正确；
，
等号成立的条件是，即，显然不能成立，
故的等号取不到，B选项错误；
若且，则，
当且仅当，即或时等号成立，C选项正确；
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确；
故选：ACD
三、填空题
11．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
12．（2024上·山西运城·高一统考期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数a，b满足，，
所以，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以不等式恒成立，只需即可.
故答案为：
四、解答题
13．（2024上·浙江温州·高一统考期末）近年来，“无废城市”、“双碳”发展战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的密集出台对厨余垃圾处理市场需求释放起到积极作用某企业响应政策号召，引进了一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目已知该企业日加工处理厨余垃圾成本单位：元与日加工处理厨余垃圾量单位：吨之间的函数关系可表示为：.
(1)政府为使该企业能可持续发展，决定给于每吨厨余垃圾以元的补助，当日处理厨余垃圾的量在什么范围时企业不亏损
(2)当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低
【答案】(1)
(2)吨
【分析】（1）利用题中所给解析式，分两段讨论；
（2）当时，由函数单调性求得最值，当时，由基本不等式求得最值，得解．
【详解】（1）法一：当时，，
，
当时，，
，
解得，
综上：当时，该企业不亏损；
法二：由已知得，
由得，或，
综上：当时，该企业不亏损；
（2）当时，，
当时，
“”当且仅当“”成立
综上：当日加工处理厨余垃圾量为吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低．
14．（2024上·四川成都·高一统考期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【答案】(1)
(2)当点满足时，最小，最小值为亿元.
【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.
（2）由题意可得，由基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：,
故实数的取值范围为.
（2）依题意可得：
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为亿元.
B能力提升
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【详解】因为即且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范围为.
故选：A
2．（2024上·全国·高一专题练习）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】变形为，
令，
则转化为
，即，
其中
，
当且仅当，即时取等号，可知.
故选：D
3．（2024·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.
【详解】因为且，若恒成立，则，
又
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
(3)
【分析】（1）根据新定义可得，求解即可；
（2）根据新定义可得，求解即可；
（3）根据新定义可得，求解即可．
【详解】（1），，
知，当且仅当时，取到最小值 ；
（2）由，，
知，当且仅当时，取到最小值6 ；
（3）由，，
知；
当且仅当时，取到最小值.
6．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
【答案】(1)最小项为
(2)数列具有性质，理由见解析．
(3)证明见解析
【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②；
（3）结合二项式定理及n元基本不等式求解.
【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.