2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲正弦定理和余弦定理(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第04讲正弦定理和余弦定理(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了在中，内角对应的边分别为，已知，在中，已知，为上一点，，且.等内容，欢迎下载使用。
A．16B．32C．64D．128
二、多选题
9．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是钝角三角形，则
C．若是直角三角形，则
D．的最大值是
10．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ）
A．已知且
B．已知且
C．已知且
D．已知且，
三、填空题
11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角对应的边分别为，已知．则角 ；若，则的值为
12．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在中，已知，为上一点，，且.
(1)求的值；
(2)求的面积.
14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，
①求面积的最大值；
②求的取值范围．
B能力提升
1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（ ）
A．64B．84C．-69D．-89
2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·江苏·专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则= ；若，则面积的最大值为 ．
5．（2024·河北沧州·一模）已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，．
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值．
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，对应的边分别为，
(1)求；
(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.
第04讲 正弦定理和余弦定理(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，，，，则角B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
2．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理求出答案.
【详解】由余弦定理得，
因为，所以.
故选：C.
3．（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cs B＝b cs A，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
由正弦定理得，a cs B＝b cs A⇒sin A cs B＝sin B cs A⇒sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
故选：A.
4．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中，则（ ）
A．2∶3∶4B．4∶9∶16C．4∶3∶2D．16∶9∶4
【答案】A
【分析】运用正弦定理边化角即可.
【详解】由正弦定理得，， ，（为三角形外接圆半径），
所以，
又，所以.
故选：A.
5．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A．15B．12C．16D．20
【答案】A
【分析】由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，解得，
又因为，由正弦定理可得，且，即，解得，
所以.
故选：B.
7．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）在锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式与余弦定理求得，再由条件与锐角三角形角的特征进一步缩小的取值范围，得到，从而得解.
【详解】由得，
在中，由余弦定理，得，
当且仅当，即时，等号成立，则；
当时，不妨设，则，，
所以，即，所以，
因为锐角中，，则，故，而，
则，所以；
综上，.
故选：B．
8．（2024·全国·模拟预测）在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A．16B．32C．64D．128
【答案】B
【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值.
【详解】由及正弦定理知，，．
在中，由余弦定理知，，，．
，，
即，得，
，
当且仅当且，即时，等号成立，.
故选：B
二、多选题
9．（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是钝角三角形，则
C．若是直角三角形，则
D．的最大值是
【答案】AD
【分析】利用正弦定理判断A、C、D，当为钝角时即可判断B.
【详解】对于A：由正弦定理可得，
由于是锐角三角形，所以且，故，
故，进而，故A正确；
对于B：若为钝角，则，故，故B错误；
对于C：若为直角，则，由正弦定理，则，故C错误；
对于D：，由于，
所以当时，取最大值，且，故D正确，
故选：AD
10．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ）
A．已知且
B．已知且
C．已知且
D．已知且，
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合正弦函数的倍角公式与性质，逐一分析判断三角形的形状，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，
由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，
所以，则为等边三角形，故A正确；
对于B，因为，，所以或，
当时，，所以，此时为等边三角形；
当时，，此时为等腰三角形，故B错误；
对于C，因为且，
所以,则，即，
又，所以，则为等边三角形，故C正确；
对于D，因为，由正弦定理得，
即，所以，
又是的内角，
所以或，所以或，
因为，由正弦定理得，则，
当时，，所以，此时为等边三角形；
当时，，所以，不满足题意；
综上，为等边三角形，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角对应的边分别为，已知．则角 ；若，则的值为
【答案】 //
【分析】利用正弦定理计算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
代入数据解得，所以．
故答案为：；.
12．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出锐角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换及正弦函数性质求解即得.
【详解】由，得，而是锐角，则，
由余弦定理得，
由正弦定理及，得，
即，因此，在锐角中，，
令，，由正弦定理得，
因此，
由，得，则，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.
四、解答题
13．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）在中，已知，为上一点，，且.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；
（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积.
【详解】（1），，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
14．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，
①求面积的最大值；
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可得出，由正弦定理即可得出，根据余弦定理即可求出，从而求得；
（2）①首先得，进一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根据即可求出的外接圆直径为2，根据正弦定理即可得出，而，从而得出，从而求出的范围，即得出的范围．
【详解】（1）；
；
由正弦定理得，；
；
，且；
；
（2）①，
根据余弦定理得：，
即，
，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为，
②；
外接圆直径；半径，
，
；
；
，
的取值范围是．
B能力提升
1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（ ）
A．64B．84C．-69D．-89
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果
【详解】解法一：由，得，
则，
即，即，
又，即；
又，得；
综上．
则，即．
由，
平方知
所以.
解法二：
.
故选：．
2．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可.
【详解】由余弦定理可知，
所以，即为直角三角形，.
设，则，
则，
显然时，.
故选：D
3．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断为锐角三角形；
（2）作垂直于，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面积的最大值.
【详解】（1）
由余弦定理可得，
化简为，解得或，
当时，因为，与为锐角三角形不符合，故.
（2）作垂直于，设，
则，当，四边形面积最大，最大面积为.
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，对应的边分别为，
(1)求；
(2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.
（2）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.
【详解】（1）由正弦定理得即
由余弦定理有，
若，等式不成立，则，
所以.
因为，
所以.
（2）.
又，
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以即，则.
令，则
因为解得，当且仅当时等号成立.
所以.则.
令，则在上递减，
当即时，有最大值，此时有最小值.
【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.