2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第07讲利用导数研究双变量问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第07讲利用导数研究双变量问题(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了已知函数，.，已知，函数.，已知函数，其中参数等内容，欢迎下载使用。
8．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．，，D．，，
10．（22-23高二下·广东汕头·期中）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 .
四、解答题
13．（22-23高三上·山东泰安·期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
14．（22-23·陕西·模拟预测）已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
15．（22-23·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.
16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
C综合素养
1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的生成函数.
（1）下面给出两组函数，是否分别为、的生成函数？并说明理由；
第一组：，，；
第二组：，，；
（2）设，，取，生成函数图象的最低点坐标为.若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.
第07讲 利用导数研究双变量问题 (分层精练）
B能力提升C综合素养（新定义解答题）
B能力提升
1．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）．
A．1B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】解：由题意，令，则，，
所以，，，
令，所以，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即的最小值为.
故选：D．
2．（22-23高三上·山东烟台·期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.
【详解】因为，
所以，设，
则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；.
故
所以，得到.
故选:A.
3．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，若，则可取（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】探讨函数在上单调性，由已知可得，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.
【详解】依题意，由得，
令，函数在上单调递增，
由得，
则，
由得：，又，
于是得，，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，且，，
，且，，故
即，显然选项A符合要求，选项B，C，D都不符合要求.
故选：A
4．（22-23高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，构造函数求解即可.
【详解】因为，所以，令，
所以，故在上单调递增，由已知得，
故，因为，都是正整数，即.
故选：A.
5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将原不等式化简为，令，可知原不等式等价于，再令，则原不等式等价于；再利用导数求出函数单调性，进而可得，由此可知只有当时，即时才满足，据此即可求出的值，进而求出结果.
【详解】∵
∴ ，
即
∴，
设，则有，即，
∴，
令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，即，
要使成立等价于成立，
只有当时，即时才满足，
∴
∴，∴.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对原不等式的变形，将其变形成，再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求解.
6．（22-23高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则的最小值为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.
【详解】由题可知当时，函数单调递增，，
当时，，设，则必有，
所以，所以，
所以，
设，则，
则时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以的最小值为.
故选：C
【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.
7．（22-23湖南长沙·二模）已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数在定义域单调递增，原不等式成立可转化为，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a的取值范围.
【详解】由函数在定义域单调递增，
对于任意，存在，使得成立，
即任意，存在，使得成立，
即满足，
令，
对称轴方程为，
在可得
令，
求导可得，
，可得，
在，，单调递增，
所以在，，
即，
解得，
故选C.
【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.
8．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意，当时，，当时，，所以当时，，又，因此当时，，当时，，即当时，，最小值为－8，，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，，，由题意，．故选C．
考点：不等式恒成立，函数的值域．
【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化，若，不等式成立，即在上，函数的最小值大于或等于的最大值．函数是三次函数，可由导数的性质求得最大值，而函数是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间（分为有三个区间）上的值域，然后求出并集，得值域．
二、多选题
9．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数，，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．，，D．，，
【答案】AC
【分析】利用导数判断的单调性，可判断AB；构造函数，根据导数判断的单调性，利用单调性可判断CD.
【详解】，即，
当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；
令，则，
因为在上单调递增，又，所以
所以，所以在上单调递增，
所以，，
所以，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．（22-23高二下·广东汕头·期中）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可.
【详解】由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为，所以本选项不符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
三、填空题
11．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.
【详解】由，得，
令，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，取最大值，最大值为0；
又，，如下图，
令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】求出的单调性，将绝对值去掉后得，构造新函数，这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数的取值范围
【详解】不妨设.
因为，所以，所以在上单调递增，即.
又因为在上也单调递增，所以.
所以不等式即为，
即，
设，即，
则，因此在上单调递减.
于是在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，
即在上单调递增，因此在上的最小值为， 所以，
故实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（22-23高三上·山东泰安·期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若有两个极值点其中，求的最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义得到，，得到结果；（2）对函数求导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（3）构造函数研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，进而得到函数最值．
【详解】（1）当时，所以，
，又，
过切点的切线方程为，
即：.
（2）由题意得：，,

令,
①当,即，则恒成立，
即恒成立，在上单调递增.
②当时，即，令,即，
解得：或
令，解得：
综上，当时，的单调增区间为，
当时，单调增区间为，
单调减区间为.
（3）由（2）知，，，
由题意知，是方程的两根,
，，
，
令
当时，,
所以，
在上单调递减，
即的最小值为.
14．（22-23·陕西·模拟预测）已知，函数.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；
（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
【答案】（１）,或；（２）．
【详解】试题分析：（１）由得可得的值，由在上得，则在上可得等式，求得的值；（２）本题可转化为在上是增函数，求转化为一元二次不等式恒成立问题，可得的取值范围．
试题解析：（1）,依题意有
,且,可得,解得,或.
（2）.不妨设,
等价于.设,则对任意的,且,
都有,等价于在上是增函数.
,可得,依题意有, 对任意,
有恒成立. 由,可得.
考点：导数的几何意义；构造函数．
15．（22-23·辽宁·一模）已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）或．
【详解】试题分析：（1）求导得，根据导数的符号即可求出 的单调区间（2）如果存在，使得 成立，那么 由题设得，求导得 由于含有参数，故分情况讨论，分别求出 的最大值和最小值如何分类呢？由得 ，又由于 故以0、1为界分类 当时， 在上单调递减；当 时，在上单调递增以上两种情况都很容易求得 的范围当时，在上单调递减，
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解．
【详解】（1），
（1）当时，，，的减区间是．
（2）当时，，的减区间是．
（3）当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，因为存在实数，使得不等式成立，
，
，，,，，单减，，，单增．
．
，，，．
C综合素养
1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于函数、、，如果存在实数使得，那么称为、的生成函数.
（1）下面给出两组函数，是否分别为、的生成函数？并说明理由；
第一组：，，；
第二组：，，；
（2）设，，取，生成函数图象的最低点坐标为.若对于任意正实数，且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）第一组：是，理由见解析；第二组：不是，理由见解析；（2）存在，289.
【解析】（1）根据新函数定义：存在实数使得，判定第一组和第二组是否为生成函数即可；
（2）根据新函数定义求出函数解析式，结合条件和，得到函数的解析式，转化成求在上的最值问题.
【详解】解：（1）第一组：是、的生成函数，
因为存在使，
第二组：不是、的生成函数，
因为若存在a，b使得，
则有，
故，而此方程无解，
所以不是、的生成函数.
（2）存在最大的常数m为289
依题意，，由，
当且仅当即时等号成立，
得：，解得，故
（当且仅当即时取等号），
因为正数，满足，故
（当且仅当时等号成立），所以上式取不到等号，
令，
即，
因为，
所以在上单调递减，
从而，
故存在最大的常数，其值为289.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集.