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2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲函数与方程(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)
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这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲函数与方程(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共34页。试卷主要包含了函数的零点，函数的零点与方程的根之间的联系，零点存在性定理，二分法，高频考点技巧等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3025" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc3025 \h 1
\l "_Tc29097" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc29097 \h 2
\l "_Tc14586" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14586 \h 3
\l "_Tc10663" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc10663 \h 3
\l "_Tc12335" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc12335 \h 3
\l "_Tc19867" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc19867 \h 4
\l "_Tc29244" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc29244 \h 5
\l "_Tc7639" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc7639 \h 5
\l "_Tc24062" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc24062 \h 6
\l "_Tc26191" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc26191 \h 7
\l "_Tc32251" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc32251 \h 8
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
2．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例题2．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
练透核心考点
1．（2024上·全国·高三统考竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）函数的零点有（ ）
A．4个B．2个C．1个D．0个
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 .
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一统考期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·广东·高三广东实验中学校联考期末）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
2．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2024上·吉林延边·高一统考期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2024上·浙江温州·高一统考期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5B．6C．7D．8
3．（2024上·上海·高一上海市育才中学校考期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
第四部分：新定义题（解答题）
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.
例题2．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
第08讲 函数与方程
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3025" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc3025 \h 1
\l "_Tc29097" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc29097 \h 2
\l "_Tc14586" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14586 \h 4
\l "_Tc10663" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc10663 \h 4
\l "_Tc12335" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc12335 \h 6
\l "_Tc19867" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc19867 \h 8
\l "_Tc29244" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc29244 \h 12
\l "_Tc7639" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc7639 \h 15
\l "_Tc24062" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc24062 \h 18
\l "_Tc26191" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc26191 \h 21
\l "_Tc32251" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc32251 \h 23
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
2．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.
【详解】在上都是单调增函数，故在上是单调增函数；
又，，
，；
故的零点所在区间为.
故选：C.
例题2．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】在上单调递增，也是单调递增函数，所以在上单调递增，
当时，，，所以，则在上无零点.
因为，，，，
所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.
故选：D
练透核心考点
1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】由条件知函数在上单调递增，
又，，
根据零点存在定理知该函数零点所在区间为，
故选：B
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由零点的存在定理，判断零点所在区间.
【详解】函数的定义域为，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增．
由，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为函数与的交点问题，画图可解.
【详解】令，得，
画出函数与的图象，
可得这两个函数在上的图象有唯一公共点，
故的零点个数为1．
故选：B
例题2．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的交点个数，即可求解.
【详解】当时，令，解得或；
当时，令，则，画出函数与函数的图象，
可知在上有一个公共点.故的零点个数为3.
故选：C
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】由函数偶函数性质及结合得到函数的周期，然后求出的在上的解析式，则求的零点就等价于函数与函数图象的交点，作出相关图形，从而可求解.
【详解】由函数为偶函数，所以，
因为对任意，都有，即，
所以函数的周期，
当时，，则，
对于函数的零点等价于函数与函数图象的交点，
如图所示，一共有10个交点，故C正确.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·全国·高三统考竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据对数的定义即可求解.
【详解】依题意，
原方程等价于
即，显然只有一个正实根.
故选：B.
2．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）函数的零点有（ ）
A．4个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】结合函数与的图象可得正确的选项.
【详解】令，即，
可知函数的零点个数即为与的交点个数，
结合函数的图像，可知与的函数图像有两个交点，
所以函数有两个零点，即函数的零点有2个.
故选：C.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，利用换元，令，将原问题转化为的所有解的乘积为1，结合函数图象，分类讨论，即可求得答案.
【详解】由题意，作出函数的图象如图：
令，则函数，即，即，
即，由题意函数所有零点的乘积为1，
可知的所有解的乘积为1，
而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；
结合的图象可知，
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
当时，函数的图象与直线有3个交点，
其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
综合以上可知实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；
（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题.
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，则只有一个零点，即，据此即可求解.
【详解】函数的定义域为，令，
则只有一个零点，
且该零点为正数，，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题令，则只有一个零点，即的分析.
练透核心考点
1．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由函数零点的定义得到，再结合条件进行变形，，再根据对数函数的图象和性质，即可求解取值范围.
【详解】由题意可知，
，
，
即，
因为，所以，
则，当时，
解得：.
故选：D
2．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 .
【答案】
【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求.
【详解】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，
表示斜率为1的一组平行线，
若直线与椭圆相切时，由得，
所以，解得（负根舍去），
当两图象有两个交点时，根据图象，
纵截距的取值范围为：.
故答案为：
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，
由图可知，.
故选：B
例题2．（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意是与交点的横坐标，是与交点的横坐标，作出图象，利用图象对称性依次求解判断.
【详解】由，得，即是与交点的横坐标，
由，得，即是与交点的横坐标，
画出，，，的图象，如下图所示，
与它们的交点依次为，
与关于直线对称，
所以，关于对称，则，，
由，解得，
所以，故A正确；
对于B，由，且，则，，
所以，令，，则，
所以函数在上单调递增，
，即，故B正确；
对于C，由，，所以，故C正确；
对于D，由，，则，
若，则，
当时与矛盾，又显然不成立，故D错误.
故选：ABC.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一统考期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.
【详解】因为函数的零点分别为，
可转化为与三个函数的交点的横坐标为，
在同一坐标系下，画出函数与函数的图象，
如图所示，
结合图象可得：.
故选：B.
2．（2024上·广东·高三广东实验中学校联考期末）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，作出函数的图象，结合图象即可得解.
【详解】由，
可得，所以，故，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
如图，作出函数的图象，
由图可知，可知.
故选：A.
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.
【详解】由题意知，关于点对称，
函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示：
由图形可知函数，在区间上的交点为，
易知点的横坐标为,
若设的横坐标为，则点的横坐标为，
所以方程在区间上的所有实数根之和为.
故选：B
例题2．（2024下·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为 ．
【答案】12
【分析】由可得，令，，分析可知与图象都关于点对称，数形结合可得结果.
【详解】由可得，
令，，则函数的定义域为，
其最小正周期，令，解得，
当时，，即函数关于点对称，
函数的定义域为，
对任意，，
所以函数图象都关于点对称，
由于函数与在上均为增函数，
则函数在上也为增函数，
当时，，，，，
作出与图象如下：
由图可知，函数与的图象有6个交点，其中这6个交点满足三对点关于点对称，
因此直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.
故答案为：12
练透核心考点
1．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为，
所以即且函数关于对称，
令得，所以，即函数的最小正周期，
再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：
由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称
所以.
故选：A
2．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】CD
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可.
【详解】设，作出函数与的图象，如图：
观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数，
由，，得，因此，
所以的取值可以是，.
故选：CD
【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）若方程的实根在区间上，则（ ）
A．B．2C．或2D．1
【答案】C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可.
【详解】方程化为，
分别做出方程左右两边的图象，
从图象可知，方程，
方程有两个分别在和之间的根，
下面证明：方程在和之间各有一个实根，
设，
根据函数性质得在区间上是增函数，
又，，
则，
由零点存在性定理知，
在区间上仅有一个零点，
即方程区间上仅有一个实根，
同理可得方程区间上仅有一个实根，
结合题意可知，或，
故选：C.
例题2．（2024·全国·高二假期作业）若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，结合的几何意义，可得有解问题，利用导数的单调性和最值即得.
【详解】设为在上的零点,可得：，即：，
从而可理解为点在直线上，而表示点到原点的距离的平方.
依题意，问题转化为有解，即有解，
不妨设，令则，则有，
记易得：在上递减，在上递增，而故
即：，故当或时， 的最小值为
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数在定区间上存在零点问题常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数在给定区间上的图象，利用数形结合的方法求解.
（2）分离参数法：对于一个参数的问题，一般先将参数分离，转化成求函数在给定区间上的值域问题加以解决；
（3）反客为主法：对于含双变量的零点问题，常设出零点，将方程转化为双变量为点坐标的轨迹问题，利用所求式的几何意义求解.
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2024上·吉林延边·高一统考期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
例题2．（多选）（2024上·浙江温州·高一统考期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案．
【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项，
符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项．
故选：ABD．
例题3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
【答案】8
【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
若，即，故最少为8次.
故答案为：8.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，
由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，
又，所以零点在区间.
故选：B.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.
【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，
故需，解得，所以至少需要操作7次.
故选：C
3．（2024上·上海·高一上海市育才中学校考期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【答案】
【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.
【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间，
结合题设要求，可得方程的一个近似解为.
故答案为：.
第四部分：新定义题（解答题）
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得
故函数在上为“伴和函数”.
（3）解：若函数在上为“伴和函数”，则，
即，
整理得，
令，则，
所以，.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，，
即，所以，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
例题2．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）不动点为1和；稳定点为1和；；（Ⅱ），.
【分析】（1）根据不动点的定义可得，即可代入求证稳定点，
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，进而将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，即可根据韦达定理求解.
【详解】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
解法2：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3025" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc3025 \h 1
\l "_Tc29097" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc29097 \h 2
\l "_Tc14586" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14586 \h 3
\l "_Tc10663" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc10663 \h 3
\l "_Tc12335" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc12335 \h 3
\l "_Tc19867" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc19867 \h 4
\l "_Tc29244" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc29244 \h 5
\l "_Tc7639" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc7639 \h 5
\l "_Tc24062" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc24062 \h 6
\l "_Tc26191" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc26191 \h 7
\l "_Tc32251" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc32251 \h 8
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
2．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
练透核心考点
1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例题2．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
练透核心考点
1．（2024上·全国·高三统考竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）函数的零点有（ ）
A．4个B．2个C．1个D．0个
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 .
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一统考期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·广东·高三广东实验中学校联考期末）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
2．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2024上·吉林延边·高一统考期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2024上·浙江温州·高一统考期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5B．6C．7D．8
3．（2024上·上海·高一上海市育才中学校考期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
第四部分：新定义题（解答题）
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.
例题2．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
第08讲 函数与方程
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3025" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc3025 \h 1
\l "_Tc29097" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc29097 \h 2
\l "_Tc14586" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14586 \h 4
\l "_Tc10663" 高频考点一：函数零点所在区间的判断 PAGEREF _Tc10663 \h 4
\l "_Tc12335" 高频考点二：函数零点个数的判断 PAGEREF _Tc12335 \h 6
\l "_Tc19867" 高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 PAGEREF _Tc19867 \h 8
\l "_Tc29244" 高频考点四：比较零点大小关系 PAGEREF _Tc29244 \h 12
\l "_Tc7639" 高频考点五：求零点和 PAGEREF _Tc7639 \h 15
\l "_Tc24062" 高频考点六：根据零点所在区间求参数 PAGEREF _Tc24062 \h 18
\l "_Tc26191" 高频考点七：二分法求零点 PAGEREF _Tc26191 \h 21
\l "_Tc32251" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc32251 \h 23
第一部分：基础知识
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
2．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.
【详解】在上都是单调增函数，故在上是单调增函数；
又，，
，；
故的零点所在区间为.
故选：C.
例题2．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】在上单调递增，也是单调递增函数，所以在上单调递增，
当时，，，所以，则在上无零点.
因为，，，，
所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.
故选：D
练透核心考点
1．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】由条件知函数在上单调递增，
又，，
根据零点存在定理知该函数零点所在区间为，
故选：B
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由零点的存在定理，判断零点所在区间.
【详解】函数的定义域为，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增．
由，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为函数与的交点问题，画图可解.
【详解】令，得，
画出函数与的图象，
可得这两个函数在上的图象有唯一公共点，
故的零点个数为1．
故选：B
例题2．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的交点个数，即可求解.
【详解】当时，令，解得或；
当时，令，则，画出函数与函数的图象，
可知在上有一个公共点.故的零点个数为3.
故选：C
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】由函数偶函数性质及结合得到函数的周期，然后求出的在上的解析式，则求的零点就等价于函数与函数图象的交点，作出相关图形，从而可求解.
【详解】由函数为偶函数，所以，
因为对任意，都有，即，
所以函数的周期，
当时，，则，
对于函数的零点等价于函数与函数图象的交点，
如图所示，一共有10个交点，故C正确.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·全国·高三统考竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据对数的定义即可求解.
【详解】依题意，
原方程等价于
即，显然只有一个正实根.
故选：B.
2．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）函数的零点有（ ）
A．4个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】结合函数与的图象可得正确的选项.
【详解】令，即，
可知函数的零点个数即为与的交点个数，
结合函数的图像，可知与的函数图像有两个交点，
所以函数有两个零点，即函数的零点有2个.
故选：C.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，利用换元，令，将原问题转化为的所有解的乘积为1，结合函数图象，分类讨论，即可求得答案.
【详解】由题意，作出函数的图象如图：
令，则函数，即，即，
即，由题意函数所有零点的乘积为1，
可知的所有解的乘积为1，
而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标；
结合的图象可知，
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
当时，函数的图象与直线有3个交点，
其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意；
当时，函数的图象与直线有2个交点，
不妨设交点横坐标为，则，
且，即，符合题意；
综合以上可知实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1；
（2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论，解决问题.
例题2．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，则只有一个零点，即，据此即可求解.
【详解】函数的定义域为，令，
则只有一个零点，
且该零点为正数，，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题令，则只有一个零点，即的分析.
练透核心考点
1．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数的零点为，的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由函数零点的定义得到，再结合条件进行变形，，再根据对数函数的图象和性质，即可求解取值范围.
【详解】由题意可知，
，
，
即，
因为，所以，
则，当时，
解得：.
故选：D
2．（2024上·上海·高二曹杨二中校考期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 .
【答案】
【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求.
【详解】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为，
表示斜率为1的一组平行线，
若直线与椭圆相切时，由得，
所以，解得（负根舍去），
当两图象有两个交点时，根据图象，
纵截距的取值范围为：.
故答案为：
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，
由图可知，.
故选：B
例题2．（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知曲线、与直线交点的横坐标分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意是与交点的横坐标，是与交点的横坐标，作出图象，利用图象对称性依次求解判断.
【详解】由，得，即是与交点的横坐标，
由，得，即是与交点的横坐标，
画出，，，的图象，如下图所示，
与它们的交点依次为，
与关于直线对称，
所以，关于对称，则，，
由，解得，
所以，故A正确；
对于B，由，且，则，，
所以，令，，则，
所以函数在上单调递增，
，即，故B正确；
对于C，由，，所以，故C正确；
对于D，由，，则，
若，则，
当时与矛盾，又显然不成立，故D错误.
故选：ABC.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一统考期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.
【详解】因为函数的零点分别为，
可转化为与三个函数的交点的横坐标为，
在同一坐标系下，画出函数与函数的图象，
如图所示，
结合图象可得：.
故选：B.
2．（2024上·广东·高三广东实验中学校联考期末）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，作出函数的图象，结合图象即可得解.
【详解】由，
可得，所以，故，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
如图，作出函数的图象，
由图可知，可知.
故选：A.
高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.
【详解】由题意知，关于点对称，
函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示：
由图形可知函数，在区间上的交点为，
易知点的横坐标为,
若设的横坐标为，则点的横坐标为，
所以方程在区间上的所有实数根之和为.
故选：B
例题2．（2024下·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为 ．
【答案】12
【分析】由可得，令，，分析可知与图象都关于点对称，数形结合可得结果.
【详解】由可得，
令，，则函数的定义域为，
其最小正周期，令，解得，
当时，，即函数关于点对称，
函数的定义域为，
对任意，，
所以函数图象都关于点对称，
由于函数与在上均为增函数，
则函数在上也为增函数，
当时，，，，，
作出与图象如下：
由图可知，函数与的图象有6个交点，其中这6个交点满足三对点关于点对称，
因此直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.
故答案为：12
练透核心考点
1．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为，
所以即且函数关于对称，
令得，所以，即函数的最小正周期，
再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：
由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称
所以.
故选：A
2．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】CD
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可.
【详解】设，作出函数与的图象，如图：
观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数，
由，，得，因此，
所以的取值可以是，.
故选：CD
【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）若方程的实根在区间上，则（ ）
A．B．2C．或2D．1
【答案】C
【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可.
【详解】方程化为，
分别做出方程左右两边的图象，
从图象可知，方程，
方程有两个分别在和之间的根，
下面证明：方程在和之间各有一个实根，
设，
根据函数性质得在区间上是增函数，
又，，
则，
由零点存在性定理知，
在区间上仅有一个零点，
即方程区间上仅有一个实根，
同理可得方程区间上仅有一个实根，
结合题意可知，或，
故选：C.
例题2．（2024·全国·高二假期作业）若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，结合的几何意义，可得有解问题，利用导数的单调性和最值即得.
【详解】设为在上的零点,可得：，即：，
从而可理解为点在直线上，而表示点到原点的距离的平方.
依题意，问题转化为有解，即有解，
不妨设，令则，则有，
记易得：在上递减，在上递增，而故
即：，故当或时， 的最小值为
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数在定区间上存在零点问题常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数在给定区间上的图象，利用数形结合的方法求解.
（2）分离参数法：对于一个参数的问题，一般先将参数分离，转化成求函数在给定区间上的值域问题加以解决；
（3）反客为主法：对于含双变量的零点问题，常设出零点，将方程转化为双变量为点坐标的轨迹问题，利用所求式的几何意义求解.
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2024上·吉林延边·高一统考期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，有唯一零点，
但恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B.
例题2．（多选）（2024上·浙江温州·高一统考期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案．
【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项，
符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项．
故选：ABD．
例题3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分.
【答案】8
【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，
每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
若，即，故最少为8次.
故答案为：8.
练透核心考点
1．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，
由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，
又，所以零点在区间.
故选：B.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.
【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，
故需，解得，所以至少需要操作7次.
故选：C
3．（2024上·上海·高一上海市育才中学校考期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【答案】
【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.
【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间，
结合题设要求，可得方程的一个近似解为.
故答案为：.
第四部分：新定义题（解答题）
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得
故函数在上为“伴和函数”.
（3）解：若函数在上为“伴和函数”，则，
即，
整理得，
令，则，
所以，.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，，
即，所以，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
例题2．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）不动点为1和；稳定点为1和；；（Ⅱ），.
【分析】（1）根据不动点的定义可得，即可代入求证稳定点，
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得，进而将问题进一步转化为，根据二次方程根的分布即可判定的方程必有一根为正根和一个零根，即可根据韦达定理求解.
【详解】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，
所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）（Ⅰ）当时，，∴，解得：或
所以函数的不动点为1和；
又
∴
解得：或，或或
所以函数的稳定点为1和；
解法2：所以函数的不动点为1和；
由得
即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得，，
所以，
解得或，或或
所以函数的稳定点为1和；
（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，
当时，令，当且仅当时取等号，
又，由，可化为
，关于的方程有三个不等实根，
令，，
由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以必有一根为正根和一个零根，即或
则，因为，得：，则.
故实数的取值范围是，.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
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