人教A版数学(选择性必修三讲义)第05讲拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用(学生版+解析)

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第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用知识点01：二项式系数的性质①各二项式系数和： ；②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：①每一行都是对称的，且两端的数都是1②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．题型01二项展开式的系数问题【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 .【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ．【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则 ，的展开式中含的系数为 .【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .题型02杨辉三角的有关问题【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（    ）  A．第行的第个位置的数是B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列C．70在杨辉三角中共出现了3次D．210在杨辉三角中共出现了6次【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为C．D．【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+            例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是(    )A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 .【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；（2） （可用组合数作答）.【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 .题型03求二项展开式中的系数最大项问题【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ）A． B．C． D．【典例2】（2022·上海·统考一模）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 .【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式，（且）．若、、成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求的最大值．【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被7除的余数．【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在的展开式中（    ）A．常数项为 B．项的系数为C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知为正整数，在二项式的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则的值为 ，展开式中第 项的系数最大.【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.题型04二项式定理的应用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（    ）A．89 B．51 C．49 D．13【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 .【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则 ；除以17的余数是 ．【变式3】（2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用知识点01：二项式系数的性质①各二项式系数和： ；②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：①每一行都是对称的，且两端的数都是1②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．题型01二项展开式的系数问题【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 .【答案】51【详解】解：由题意得：.其中项，仅出现在求和指标r=4时的展开式中，其项系数为；而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式中，其xy项系数为.因此有.注意到n>4，化简得，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，故答案为：51.【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .【答案】【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．【答案】T2＝－16【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即可.试题解析：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，解得n＝8(n＝－3舍去)．所以通项为Tr＋1＝C ()8－r·r＝C (－2)r·.令＝，得r＝1.    ∴展开式中含的项为T2＝－16.【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ．【答案】【详解】∵，解得，展开式的通项为，令，得，常数项为．故答案为：.【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则 ，的展开式中含的系数为 .【答案】 9 【详解】令，得，由二项展开式的通项公式可知，由，得，解得.由9个连乘得到，要得到含的项，有两种情形：①这9个式子中：8个式子中取，剩下的1个式子中取；②这9个式子中：7个式子中取，剩下的2个式子中取1.故含的系数为.故答案为：9，-18.【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .【答案】【详解】二项式的展开式的通项公式为，，所以第3项的二项式系数，第4项的二项式系数为，因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，所以，解得，所以在的展开式中的系数为，由已知，解得，故答案为：.题型02杨辉三角的有关问题【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（    ）  A．第行的第个位置的数是B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列C．70在杨辉三角中共出现了3次D．210在杨辉三角中共出现了6次【答案】BCD【详解】对于A选项：第行的第个位置的数是，故A错误；对于B选项：由题，数列的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，为奇数，为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数，这与情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；由于，不妨设，令，当时，，，当时，，无正整数解，当时，，当时，当时，，而递增，从而无解；当时，，当时，由于是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，所以当时，共出现3次，C正确；类似于前，以为顶点的下方三角形区域中的数都大于,D正确.故选：BCD【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为C．D．【答案】BCD【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为，于是得第10行的第三个数为，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.【答案】 4 8【详解】由杨辉三角可得如下表：第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个； 第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个； 第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个； 第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；故答案为：4；8.【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.【答案】（1）存在，是第行；（2）证明见解析.【详解】（1）假设，则，所以，所以，解得，故在杨辉三角形中的第行的第个数之比为.（2）假设，够成等差数列，则，则，则，则，则，两式相减得，即，所以，，，成等差数列，由组合数的性质可得，，根据等差数列的性质得，所以，所以，所以，所以，显然不成立，所以假设不成立，即任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+            例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是(    )A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则【答案】ABC【详解】对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是，故A正确；对于B，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为，故B正确；对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，即，证明如下：，则由项和项相乘即可得到这一项的系数为：，而是二项式的展开式中第项的二项式系数(即的系数)，故，故C正确；对于D，第行的第个数为，∴，即，故D错误．故选：ABC．【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 .【答案】452【详解】设数列为{}，当为偶数时，易知；前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，所以偶数项之和为：；当为奇数时，，，，，…，所以，则，所以前23项里面奇数项和为： ====364，所以.故答案为：452.【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；（2） （可用组合数作答）.【答案】 2 【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以的展开式中，项的系数为，解得；（2）由题意可知，，根据二项式定理可得，所以，可视为二项式展开式中的系数，而二项式的展开式通项为，令，解得，所以，．故答案为：2；．【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 .【答案】【详解】将数阵倒置，计第行第个数为，则倒置后的数阵为：则有，且有.，，.依此类推，，因此，.故答案为.题型03求二项展开式中的系数最大项问题【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（   ）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，，，，第6项的系数最大，，则.故选：.【典例2】（2022·上海·统考一模）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 .【答案】12【详解】由题意可知展开式的二项式系数为，当时，取得最大值展开式的系数为，当满足时，系数最大.即，即解得又时，系数的最大值为则故答案为：12【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式，（且）．若、、成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）7．【详解】（1），则，，，由题意知，则，即，因为，所以.展开式的中间项是（2）设最大，则有，即，解得,又，∴或6所以的最大值为.【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被7除的余数．【答案】（1）；（2）2.【详解】（1）二项式的二项式系数之和为512，，．由，解得：，展开式中系数最大的项为第8项，为．（2）若，，问题转化为被7除的余数，，即余数为2．【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在的展开式中（    ）A．常数项为 B．项的系数为C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【答案】BCD【详解】的展开式的通项公式，对于A：令，解得，可得，即常数项为，故A错误；对于B：令，解得，可得，即项的系数为，故B正确；对于C：由通项公式可得：第项的系数为，当为偶数时，；当为奇数时，；取为偶数，令，则，整理得，解得，所以系数最大项为第3项，故C正确；对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确；故选：BCD.【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知为正整数，在二项式的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则的值为 ，展开式中第 项的系数最大.【答案】 12 11【详解】（1）根据题意得，，即，整理得，解得或（舍去），∴.（2）二项式展开式的通项为.设二项式的展开式中第的系数最大，由题意得，解得，又，∴，∴展开式中第11项的系数最大.【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【答案】(1)；(2)第3项或第4项.【详解】（1）依题意，，由组合数的性质得，于是得展开式的通项，由得，则，所以展开式中含的项的系数为；（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得，即，整理得，解得，而，从而得或，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.【答案】（1）-13；（2）【详解】解：（1），令可得，可令可得，两式相减可得，；（2）令可得各项系数和为，二项式系数和为，由题意可得，即，解得 （舍去），解得．设第项的系数最大，则有，解得．再由，可得．故系数最大的项为．题型04二项式定理的应用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（    ）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为,当时,数列可为:共计98个,当时,数列可为:共计96个,当时,数列可为:共计94个,,当时,数列可为:共计4个,当时,数列可为:共计2个,故,当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为,当时,数列可为:共计97个,当时,数列可为:共计94个,当时,数列可为:共计91个,,当时,数列可为:共计4个,当时,数列可为:共计1个,故,所以,所以的后两位与的后两位一致,,因为,因为的后两位一定是00,故的后两位数与的后两位一致,因为,故的后两位数为49,即的后两位数为49.故选:C【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 .【答案】【详解】，设，且为整数，则，中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有种情况，即有个；其中有一个为1时，有种情况，即有个；其中有2个为1时，有种情况，即有个；…故，同理可得：，…，,则.故答案为:．【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.【答案】(1)是互斥数列，理由见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【详解】（1）解：中只有首项为1，其余均为偶数，均为大于1的奇数，故对任意的，若恒成立，所以是互斥数列；（2）证明：若与不是互斥数列，则存在，使得，设的公差分别为，因为数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，所以都为正整数，取，所以,，，所以，因为，所以，存在无穷多组正整数对，使成立，证毕.（3）解：由于，因为除以的余数为，是互斥数列，所以除以的余数为或，（i）若，则对成立即可，（ii）若或，则或都为的倍数，此时是互斥数列，满足题意，（iii）若，则，下面我们证明除以3的余数为1，由二项式定理，展开得，所以, 除以3的余数为1所以是互斥数列，满足题意，综上，满足的条件是，对成立；或或，或，其中.【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，两边同时除以x，得，又展开式中的系数为，所以，所以．故选：A．【变式2】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则 ；除以17的余数是 ．【答案】 0【详解】由题意，，所以又为正整数，所以除以17的余数为0，故答案为： 【变式3】（2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．【答案】(1)(2)2【详解】（1）因为，所以，两式作差得： ，即 ，又,适合上式，故，又时， ，而 ，适合上式，故 ；（2）由题意得，所以，因为，，，故.