2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第09讲拓展四：三角形中周长(定值，最值，取值范围)问题(精讲)(学生版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13894" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc13894 \h 1
\l "_Tc440" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc440 \h 2
\l "_Tc12099" 高频考点一：周长（边长）定值（求周长） PAGEREF _Tc12099 \h 2
\l "_Tc21803" 高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） PAGEREF _Tc21803 \h 3
\l "_Tc32068" 高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） PAGEREF _Tc32068 \h 4
\l "_Tc1851" 高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） PAGEREF _Tc1851 \h 6
\l "_Tc13191" 高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） PAGEREF _Tc13191 \h 7
\l "_Tc7484" 高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） PAGEREF _Tc7484 \h 8
\l "_Tc27836" 频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） PAGEREF _Tc27836 \h 10
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长．
例题2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)15
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若，，求．
例题2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.
练透核心考点
1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若,，求．
2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分线与交于点，且，求.
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）中，D为BC边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的周长的最大值.
例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图，中，角、、的对边分别为、、.
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，求周长的最大值．
2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
练透核心考点
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的中点为且，，请写出与的关系式，并求出的最大值.
2．（22-23高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值.
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
例题2．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
例题2．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）在中，内角对应的边分别为，，，若.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且.
(1)试确定的形状；
(2)求的值．
2．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为的内心，求的取值范围.
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
例题2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
例题3．（2023·四川成都·一模）已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
3．（22-23高三上·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13894" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc13894 \h 1
\l "_Tc440" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc12099" 高频考点一：周长（边长）定值（求周长） PAGEREF _Tc12099 \h 1
\l "_Tc21803" 高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和） PAGEREF _Tc21803 \h 5
\l "_Tc32068" 高频考点三：周长（边长）最值（周长最值） PAGEREF _Tc32068 \h 8
\l "_Tc1851" 高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值） PAGEREF _Tc1851 \h 11
\l "_Tc13191" 高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围） PAGEREF _Tc13191 \h 15
\l "_Tc7484" 高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围） PAGEREF _Tc7484 \h 20
\l "_Tc27836" 频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围） PAGEREF _Tc27836 \h 27
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为的外接圆半径为，且．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；
（2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解.
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，化简得，
因为，且不同时为钝角，则，
所以，
又，所以，因此；
（2）由（1）知，
则，
由正弦定理得，
令，则，
则，解得，
因此的周长为．
例题2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.
（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：.
由余弦定理可得：.
又因为，
所以.
（2）由,,成等差数列可得：①.
因为三角形的面积为，，
，即②.
由(1)知：③
由①②③解得：.
，
故三角形的周长为15.
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及特殊角的三角函数值求解即可；
（2）根据三角形面积公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周长.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，则，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，且，所以，
由余弦定理可得，
所以，解得，
因此周长为.
2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由中线的向量表示平方后化简，由三角形面积公式可求出，再由余弦定理求出即可.
【详解】（1）由题意知中，，
由正弦定理边角关系得：
，
所以，
因，所以，
所以，所以，
又，
所以，即．
（2）在中，为中线，，
，
，
，
，
，
，的周长为．
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)；
(2)20.
【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.
（2）由同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
由，得，
由正弦定理可知，，
由，得，即
（或
由正弦定理可知：，
因为，所以.）
（2）由，可知角为锐角，
所以，得，，
因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得
例题2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；
（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面积公式求得，从而利用整体法，结合余弦定理即可得解.
【详解】（1），
即，即，
所以，又，则.
（2）由外接圆的半径为1，得，，
边上的高为，所以，
则，所以，
，，即，
故.
练透核心考点
1．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若,，求．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由三角形面积公式、正弦定理及同角三角函数基本关系得解；
（2）根据三角恒等变换化简后由正余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
由正弦定理可知：，
因为，所以.
（2）由，可知角为锐角，
所以，得，，
所以，
由，
又，得，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得.
2．（23-24高三上·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分线与交于点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理解方程即得.
【详解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，则有，即，
因，故.
（2）因为为角平分线，所以，
所以.
因，，，则，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分别代入化简得：，
解得：或（舍去），所以.
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）中，D为BC边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的周长的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根据三角形的面积之和等于的面积，求得，结合余弦定理求得，再由正弦定理即可求得；
（2）根据，结合已知条件求得，再利用不等式即可求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）设，由，即，解得；
在中，，由余弦定理得，，
即，解得；
由正弦定理得：，即，解得.
（2）设，，
则中，，
中，，
因为，，所以，即；
由得，当且仅当时取得等号；
所以，当且仅当时取得等号，
即的周长的最大值为.
例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图，中，角、、的对边分别为、、.
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得即，
则，整理得，而，即.
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论；
（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值.
【详解】（1）证明：由余弦定理知和，
得，
又，则，
结合正弦定理得，
；
（2）由（1）知，又，
故，即，
，所以，
则，故，当且仅当，即时取等号，
故，即周长的最大值为6.
2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角；
（2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值.
【详解】（1）由，得，
即，则，
由，得.
（2），得，
由余弦定理，有，得，
周长，
当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）由正弦定理：，
，
则，
又因为代入得：
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3．
例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）首先根据正弦定理将角转化成边，然后再根据余弦定理求解即可；
（2）首先根据已知条件结合等面积的关系求出，然后再根据均值定理进行求解即可.
【详解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
所以，
又因为，所以.
（2）为的角平分线，.
由，得，
又，所以，故，
所以，
当且仅当，即时，的最小值为9.
练透核心考点
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的中点为且，，请写出与的关系式，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理及两角和得正弦公式即可求得，结合角的范围可知；
（2）依题意在中由正弦定理可得，即可得，利用辅助角公式可知，结合角的范围及三角函数单调性可得的最大值为.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
即可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）如下图所示：

依题意，
则在中，由知，
又，利用正弦定理得，
所以，，
又，所以，，
所以
，
因为，所以，根据三角函数单调性可知，
所以，
即的最大值为.
2．（22-23高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；
若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；
（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，
，
，，，
即，，
又，，，解得：；
若选条件②：，
，，
，，，解得：.
（2）
，，
即，
（当且仅当时取等号），
的最大值为.
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；
（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，整理得，
由正弦定理可得，即，
且，所以.
（2）在中，由题意可知：，，
可知，
由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理，
可得，
因为且为锐角三角形，则，解得，
则，可得，所以，
且三角形周长为，
所以三角形周长的取值范围为.
例题2．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行的坐标形式，得到边和角之间的等式关系，根据正弦定理将角化为边，解得边之间关系，再根据余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题知向量，，且.
所以，由正弦定理可得，
所以，所以，因为，所以；
（2）因为，，，
所以，，
所以.
因为，所以，所以，
所以，
所以，即周长的取值范围为.
练透核心考点
1．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
(1)；
(2)周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.
【详解】（1）若选①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若选②
，
，，
，.
若选③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周长的取值范围.
2．（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．

(1)若，求的长度；
(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由关系，结合面积公式列方程求解；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.
【详解】（1）因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，则，
又，所以，又，则.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，于是，
则，所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质得到其值域，则得到周长的范围.
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且.
(1)求的大小；
(2)设的中点为，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得到，再由辅助角公式计算可得；
（2）设，则，则，利用正弦定理表示出、，从而转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
即，
则.
因为，所以，即，
所以，
又，所以，
所以，解得.
（2）设，则，则，
根据正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
故的取值范围为.
例题2．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；
（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.
【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，展开可得，
.
（2）由正弦定理，
则
，其中，
是锐角三角形，，.
，，
显然，当时，，
.
例题3．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）在中，内角对应的边分别为，，，若.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理将条件变形整理可得结论；
（2）由已知变形可得，然后利用换元法求的取值范围.
【详解】（1）解法1：，
即证.
解法2：要证，只要证，
即证
只要证，
因为，所以成立，
故；
（2），
设
.
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·假期作业）在中，已知，且.
(1)试确定的形状；
(2)求的值．
【答案】(1)直角三角形；
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边化简已知等式可得，结合两角和差的余弦公式以及正弦定理化简可得，即可推出，从而可判断三角形形状；
（2）由（1）可得，运算即可得解.
【详解】（1）在中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，，
代入，得，所以①，
因为，所以，
所以，
由正弦定理，得，所以②，
把②代入①得，，即，
所以是直角三角形；
（2）由（1）知，即，所以，
又，所以，所以.
2．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；
（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，
则；
（2）由正弦定理，
则，
所以，
，
因为在锐角三角形中，得，
所以，
则，
所以的取值范围为.
3．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若为的内心，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与正余弦两角和差公式得，从而求解.
（2）结合（1）及的内心作出图像，求得，并利用正弦定理得，从而求解.
【详解】（1）由及正弦定理，得：
即：，所以：，
又：，所以：，
又：，所以：，
所以：.
（2）因为，所以，
如图，连接，因为为的内心，所以：，
所以：，
设，则.
在中，由正弦定理得:，
所以：，
所以：，
其中：，
因为，所以不妨取，
又，所以，其中，
当时，取得最大值.
因为，所以，
又，所以，
综上，的取值范围是.

频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角；
（2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；法二：过点作，垂足为，根据直角三角形性质结合图形分析求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是．
法二：（数形结合）过点作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形．
为锐角三角形，
点在线段上（不含端点）．
在中，，易得，
，周长为；
在中，，易得，周长为，
所以周长的范围是．
例题2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过，利用三角恒等变形公式计算即可；
（2）利用正弦定理，将用角表示出来，然后利用的范围求的取值范围．
【详解】（1）因为与垂直，
所以，
即，
即，
即，
即，又，所以，
所以，即；
（2）由正弦定理得
，
根据三角形是锐角三角形得，
解得，则，所以，
所以，则，
则的取值范围为.
例题3．（2023·四川成都·一模）已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式计算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出，然后用锐角三角形和（1）求出B的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.
【详解】（1）.
由，即.
为锐角三角形，，
.
.
（2）由正弦定理，.
，.
，.
是锐角三角形，
，且.
，，
，
.
.
.
综上，的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
简得出，进而根据余弦函数的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因为为锐角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，
所以，，解得.
根据正弦定理可得，
，.
因为
，
所以，，
，
所以，.
因为，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周长的取值范围为.
3．（22-23高三上·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边后得到条件，再由余弦定理可求出，即可求解；
（2）根据正弦定理，把边的关系转化为角的关系，再根据角的范围即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，
，
则，又,
所以
（2）因为，
所以,
则
，
因为三角形为锐角三角形，
所以,解得，
令，所以，
所以.