2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第14讲：拓展七：极值点偏移问题(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第14讲：拓展七：极值点偏移问题(学生版+解析)，共33页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20785" 类型一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc20785 \h 1
\l "_Tc27732" 类型二：含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27732 \h 3
\l "_Tc13653" 类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc13653 \h 5
\l "_Tc2374" 类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc2374 \h 6
高频考点类型
类型一：不含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
2．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
3．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
练透核心考点
1．（23-24·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
2．（23-24高三上·广东清远·期末）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
3．（23-24高三·全国·专题练习）已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；
(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．
类型二：含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高二下·四川南充·期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数.
(1)当时，试比较与的大小；
(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.
2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若有零点，求实数的取值范围；
(3)若有两个相异零点，求证：.
练透核心考点
1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，且满足，求证：.
练透核心考点
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知，是函数在区间上的极值点.
(1)若函数的图象过点，求；
(2)求证：在区间上存在两个零点，且.
第14讲：拓展七：极值点偏移问题
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20785" 类型一：不含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc20785 \h 1
\l "_Tc27732" 类型二：含参数的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc27732 \h 9
\l "_Tc13653" 类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc13653 \h 18
\l "_Tc2374" 类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 PAGEREF _Tc2374 \h 24
高频考点类型
类型一：不含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；
（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；
②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，
由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
2．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证；
（2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.
【详解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可.
3．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断不成立，当时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；
（2）设，可得恒成立，从而可证不等式.
【详解】（1）当时，，
因为，所以，即，不符合题意；
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因为，所以的取值范围为．
（2）因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则．
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即在区间上恒成立．
因为，所以．
因为，所以．
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.
练透核心考点
1．（23-24·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；
（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.
【详解】（1）解：由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
（2）证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.
2．（23-24高三上·广东清远·期末）已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解；
（2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可.
【详解】（1）因为，所以1不是的零点．
当，可变形为，
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为，，得，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，且当时，，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则，
由得，
所以，即．
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增．
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证．
令，
则，
所以在上单调递减．
因为，所以．
因为，所以，故．
3．（23-24高三·全国·专题练习）已知函数，其中为常数，且．
(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；
(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知，进而分，，，四种情况讨论求解即可得答案；
（2）根据题意，不妨设，则，，再构造函数，结合函数的单调性证明即可.
【详解】（1）解：（1）函数的定义域为，
①当，即时，函数在，上单调递增，其最大值为，不符合题意；
②当，即时，函数在，，上单调递增，在单调递减，
，，所以，不符合题意；
③当，即时，函数在，，在，单调递减，其最大值为，不符合题意；
④当，即时，函数在，，上单调递增，在，单调递减，
，，所以，符合题意；
综上所述，实数的值为；
（2）证明：，
令，得，
当时，函数在，递减，在单调递增，
函数有两个不相等的零点，，
不妨设，则，，
构造函数，，则，
，
在单调递减，，
，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函数在单调递增，
，．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的的最值，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论思想等，是难题.本题第一问解题的关键在于求导得，进而分类讨论求解；第二问解题的关键在于结合函数的性质得，，进而构造函数，，结合函数的单调性求解.
类型二：含参数的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高二下·四川南充·期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导后转化为含参的函数，讨论单调性的实质就是解含参的不等式，借助分子函数的图像，完成讨论．
（2）本问题为极值点偏移问题，可转换为单变量的不等式证明，构造函数利用导数证明即可．
【详解】（1）的定义域为，
.
令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，
故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，
以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：
①当时，即时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；
综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；
当时，只有单增区间；
（2）由题可知，，
设是方程的两个不等实根，不妨设为，
则，两式相减整理得到
，从而得到，
要证，故只需要证明，
由于，
转化为，
即，即，
令，则上述式子转化为
设，则，
当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，
故得证，
即.
2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【分析】（1）令，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明；
（2）令，通过求导分析单调性，结合的单调性从而证明结结论．
【详解】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解.
（2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解.
【详解】（1）因为函数的定义域是，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为．
（2）因为是函的两个零点，由（1）知，
因为，设，则，
当，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，．
又因为，且，
所以，．
首先证明：．
由题意，得，设，则
两式相除，得．
要证，只要证，即证．
只要证，即证．
设，．
因为，所以在上单调递增．
所以，即证得①．
其次证明：．设，．
因为，所以在上单调递减．
所以，
即．
所以②．
由①②可证得．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究函数的零点问题．
练透核心考点
1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，．（为自然对数的底数）
(1)当时，求函数的极大值；
(2)已知，，且满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究的单调性，进而求得其最大值.
（2）同构函数，转化为，结合换元法，分别讨论与，当时运用不等式性质即可证得结果，当时运用极值点偏移即可证得结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为；
（2）由题意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，
令，，又，，所以，，则，
①若，则，即，所以；
②若，设，且满足，如图所示，

则，所以，下证：．
令，，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，所以，，，
所以，即，
又因为，所以，即．
由①②可知，得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
【答案】(1)当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，根据的不同取值范围，对的符号进行讨论即可；
（2）由已知及（1）中单调性，可知，且，故只需证明，再借助不等式性质和放缩，即可证出.
【详解】（1）由已知，的定义域为，，
①当时，，恒成立，
∴此时在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）若函数有两个零点，（），
则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
当时，，当时，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需证明，即有.
下面证明，
设
，，
设，则，
令，解得，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴，在区间上单调递增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命题得证.
【点睛】本题第（2）问为极值点偏移的变式，首先需要通过和，确认只需证，再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性，证出，最后使用不等式性质和放缩得到.
3．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对分类讨论，求得有两个零点时的范围，及的范围，构造函数，研究在上的单调性，可得，又，及的单调性可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令
，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。
类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数.
(1)当时，试比较与的大小；
(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差得，通过构造函数，证明当时，函数小于0恒成立，即可比较与的大小；
（2）通过题干条件求出和，利用分析法得出只需证成立，通过构造函数，通过求导结合函数的单调性证明式子成立.
【详解】（1）因为，
所以，
，
所以，
令，，
所以，
又因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以，
所以，即.
（2）因为斜率为的直线与的图象交于不同两点，，
所以，
，
所以，
因为，
所以，所以，
要证，即证，
又因为线段的中点的横坐标为，所以，即证，
不妨设，上式可整理为，即，
令，则，所以上式即为，
令，则，
因为，所以，所以函数在区间上单调递增，
所以，即，
故得证.
【点睛】关键点睛：题干中涉及到含两个变量的不等式时，都是要把双变量问题转化成一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若有零点，求实数的取值范围；
(3)若有两个相异零点，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程；
（2）对分三种情况讨论得解；
（3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，则切线方程为，
即切线方程为.
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
因为，，
所以，则函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于有零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是.
综上，所求实数的取值范围是.
（3）要证，两边同时取自然对数得.
由得，得.
所以原命题等价于证明.
不妨取，故只需证，即.
令，则，设（），只需证.
而，故在单调递增，所以.
综上得.
【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在第3小问，解答有两个关键，其一是要会利用分析法等价转化命题；其二是能够利用代换化双变量问题为单变量问题解答.
练透核心考点
1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．
【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究函数单调性即可.
（2）由可得，结合（1）可得，联立两者可得，运用比值代换法，设，转化为求证,即可证明.
【详解】（1）的定义域为，，
令，则，
所以函数在单调递增，
又因为，
所以，，
即：，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由（1），得，
又，即，
所以．
不妨设，所以．
由（1）得当，函数单调递增，所以，
故，
所以，
所以，故．
下证．
即证：，
设，
则，
所以函数在区间上单调递增，
所以，
故，即，
所以，即，
所以，得证．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）将代入后得，对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解；
（2）由题意得，从而利用分析法将变形为，构造函数，利用导数证得，由此得证.
(2)若，，且满足，求证：.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）依题意可得，则，先证明，构造函数利用导数即可证明，则，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）当时，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值为，无极大值.
（2）证明：当时，依题意可得，显然，
先证明，令，则，
所以当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
所以，
又依题意，
令，则，
所以当时，所以在上单调递减，
所以，也即，
当时利用在上单调递减可知，
当时也有，
所以，则，综上可得.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
练透核心考点
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知，是函数在区间上的极值点.
(1)若函数的图象过点，求；
(2)求证：在区间上存在两个零点，且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，求出函数的极值点满足的等式，再加上函数的图象过点得到的等式，联立求出；
（2）求导，可得一个零点为0，另一个零点所在范围，再利用的单调性，判断出，进而可通过单调性去掉得到答案.
【详解】（1），
令，
时，，
在上单调递增，
∵，，
∴存在唯一的使，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴为的极小值点且，
则，
∵过，
∴，
，
，
∴，，
;
（2）当时，，在上单调递增，
由（1）知存在唯一的使，
∴在上单调递减；上单调递增，
∵，，，
∴在上有两个零点，不妨设一个零点为，另一个零点
∴且，在上单调递增，
，
（利用放缩）
∴，即命题得证！
证明：，
设，，
则，即在上单调递增，
，
即；
证明：，
设，
则，即在上单调递增，
，
即.
【点睛】方法点睛：1：当一次求导不能解决问题的时候，可以再求一次导；
2：针对不等式的证明，有时候可以利用不等式，来帮助进行证明.