2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展02抽象函数和复合函数的应用(精讲+精练)(学生版+解析)

这是一份2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展02抽象函数和复合函数的应用(精讲+精练)(学生版+解析)，共43页。试卷主要包含了必备知识整合，抽象函数的模型，复合函数等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
①是奇函数
②（为常数）是奇函数
③或者或者或者是奇函数
④关于对称
⑤复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
三、复合函数
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
二、考点分类精讲
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
4．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练-刷模拟】
1.抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
3．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2B．C．0D．
6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定为域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A．B．
C．D．若，则周期为
8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）
A．1B．C．0D．
二、填空题
10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
11．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数为偶函数，是奇函数，且，则 .
12．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
13．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则 .
2.常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
一、单选题
1．（2023·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
5．（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
7．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且
A．B．
C．D．是函数的极小值点
3．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
4.复合函数的应用
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）函数，则正确的有（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．在区间上是增函数
11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
12．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023高三·全国·专题练习）已知集合，，则
14．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）函数的定义域是 ，值域是 ．
15．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
16．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 .①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数
④复合函数的应用
增
增
增
增
减
减
减
增
减
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展02 抽象函数与复合函数的应用（精讲+精练）
一、必备知识整合
一、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
5.常见的特殊函数性质一览
①是奇函数
②（为常数）是奇函数
③或者或者或者是奇函数
④关于对称
⑤复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
三、复合函数
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数 分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
二、考点分类精讲
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
4．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
1.抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
一、单选题
1．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.
【详解】由题设，则，可得，
所以函数定义域为.
故选：A
2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原函数的对称关系.
【详解】因为，
所以，
即，
所以关于直线对称，
因为，
所以关于对称，即为偶函数.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据题意得到与，进而得到的一个周期为4，从而得解.
【详解】由于函数为偶函数，则，即，
又为定义在上的奇函数，所以，且，
所以，则，
故的一个周期为4，则.
故选：B．
4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由可得，
故的一个周期为4，
由为奇函数可得，得，
对于，令，得，则，
令，得，又，所以，
则，
故
.
故选：C.
5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.
【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，
故函数的图象关于直线对称，∴，故，
∴，∴是周期为4的周期函数．
则．
故选：A．
6．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知定为域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案.
【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数，
即，即，结合，
得，即，
故，即，
则，故8为函数的一个周期，
由于，，故令，则，
结合，令，得，
对于，令，则，
故，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案.
7．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A．B．
C．D．若，则周期为
【答案】A
【分析】利用赋值法求判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得，化简得，即可判断D.
【详解】由，
令，，有，
可得或，A错；
当时，令，
则，，
函数既是奇函数又是偶函数，，
当时，令，
则，则，
函数是偶函数，，
综上，B正确；
令，则，
故，
由于，令，即，
即有，C正确；
若，令，
则，
所以，
则，
，
所以，
则周期为，D正确.
故选：A
8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.
【详解】因为关于对称，有，
令，则，的图象关于对称.
由为偶函数，得，则的图象于对称，
因为，
所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，
所以，所以，
所以，所以为的一个周期，
因为图象关于对称，所以，
故，
所以由，得.
故选：C.
9．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得的图象关于点中心对称且关于直线轴对称，进而得的周期为4，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，则.
因为为偶函数，所以，
所以的图象关于直线轴对称.
由，得，
所以，则，
则的周期为4，
，则.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
二、填空题
10．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数的定义域为，则有，
令，解得.
故答案为：.
11．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数为偶函数，是奇函数，且，则 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.
【详解】由题意可知关于轴对称，关于中心对称，
，
所以，故，
所以，
即是的一个正周期，则
由，且，则，
故答案为：
12．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ．
【答案】
【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解.
【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
13．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则 .
【答案】
【分析】通过赋值法解出，由解出；进而求出，再证明函数为偶函数，进而证出，结合偶函数得出函数周期，求出最后求解即可.
【详解】令，得，
再令，得，
所以，因为，所以，
令，得，
所以，即，
若，则代入中，，
由，所以，即，且，
令，得，
由，，所以，
所以为偶函数，所以，，
令，得，
所以，即，
因为，所以，
所以为周期函数，周期为4，
所以，
，
所以
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得的值，这也是抽象函数求函数值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.
2.常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
一、单选题
1．（2023·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【答案】D
【分析】令，结合题设为上任意值且，得到为常函数，进而判断各项的正误.
【详解】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，A、B错.
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【答案】A
【分析】令，求出，令，求出，再分别令，，即可求出函数的解析式，进而可得出答案.
【详解】令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.
故选：A.
4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【答案】C
【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
5．（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
【答案】C
【分析】构造函数，可得，令，由得，从而得到，即可求出的最小值.
【详解】由，得，令，得，
令，得，
故，又，
所以，
所以，因为，当时，的最小值为855．
故选：C．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解.
7．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.
【详解】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
二、多选题
8．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．是偶函数
【答案】ABD
【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可.
【详解】令，则，即. A正确.
令，则.
令，则，则.
故. B正确.
是非奇非偶函数. C不正确.
是偶函数. D正确.
故选：ABD.
9．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．或
C．是上的增函数D．是上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.
【详解】解：在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
3.常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足，当，若在区间内，函数有两个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】转化，可转化为有两个交点，数形结合即得解
【详解】由，
函数有两个不同零点，可转化为有两个交点
当，
故
作图如下，由于,若有两个交点
可得
故选：A
二、多选题
2．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数的定义域为R，值域为，，则（ ）
A．B．
C．D．是函数的极小值点
【答案】AC
【分析】由已知利用赋值法分别检验各选项即可判断.
【详解】取，则，且，故，A正确；
取，符合题意，此时，且在上单调递增，不存在极值点，B和D错误；
取，则，即，C正确，
故选：AC．
3．（22-23高一上·江苏南京·期末）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令，故A正确；
由已知，①
令满足题干要求，则，故B错误；
由①可知，令，则，
又因为，则，所以，故C正确；
因为，所以，
又由①，令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
【答案】ABD
【分析】赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.
【详解】A项：因为，
当时，，令，
则，解得，A正确；
B项：任取：，
则，
因为当时，，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增，B正确；
C项：令，则，
解得或，当，且时，令，
则，
若为奇函数，则，即，
解得，与题意矛盾；
当时不为奇函数．
综上所述，函数不是奇函数，C错误；
D项：当，
则，
，
所以，易得在上单调递增，
所以时，，，
故函数的一个解析式为，D正确．
故选 :ABD
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
【答案】答案不唯一
【分析】由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数.
【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，
又因为在上是减函数且，
所以满足条件的一个函数可取，
故答案为：(答案不唯一).
4.复合函数的应用
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】，设，，计算得到答案.
【详解】，
设，则，
故函数的值域为.
故选：C
2．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可.
【详解】若在上单调递增，
则必然在处有定义，所以，即；
若，则当时，所以在上有定义，
再由知在上单调递增，所以在上单调递增.
故选：C.
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
【详解】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.
【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性以及的单调性，即可得出在区间上单调递增.结合二次函数的性质，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为函数为R上的减函数，
根据复合函数的单调性可知，要使函数在区间上单调递减，
则函数在区间上单调递增.
根据二次函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以应有，即.
故选：C.
6．（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为开口向下，对称轴为，
可知内层函数在区间上单调递增，
当，；当，；
可知，
又因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减.
对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误；
对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误.
故选：A.
7．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.
【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，
因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，
而当时，，必有，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C
8．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再由单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，，
则，
所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称，
则，
则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，
则在定义域上单调递减，
则不等式，即，所以，
则，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
9．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令，则．
当时，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可知在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递增，
则，解得．
当时，在上单调递减，
则由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，
则，解得，与矛盾．
综上所述，.
故选：C．
二、多选题
10．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）函数，则正确的有（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】依题意，函数的定义域为R，A正确；，
对于B，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在上递增，
因此，B错误；
对于C，，因此函数是R上的偶函数；
对于D，令，，
，
因为，则，即有，因此，
即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在上递增，D正确.
故选：ACD
11．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得的大致图象；分别在和的情况下，根据复合函数单调性可确定的单调性，结合的图象可构造不等式组求得的范围.
【详解】令，，
，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
令，解得：或，
的大致图象如下图所示，

当时，若在上单调递减，则在上单调递减，
，解得：；
当时，若在上单调递减，则在上单调递增，
或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为，可能的取值为和.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023高三·全国·专题练习）已知集合，，则
【答案】
【分析】由题意分别求出集合，然后求即可.
【详解】由，
故，
故答案为：.
14．（22-23高三上·北京朝阳·阶段练习）函数的定义域是 ，值域是 ．
【答案】
【分析】（1）由真数大于0解不等式即可求得定义域；
（2）利用换元法即可求得值域.
【详解】（1）因为，
所以，解得：，
所以的定义域是.
（2）设，
则，所以，
由图像可知：，
即函数的值域为.
故答案为：；.
15．（23-24高三上·安徽亳州·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性求解即可.
【详解】解：根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减,
因此可知对称轴，且，
解得.
故答案为：
16．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．
【详解】时，，，
时，，，
于任意的都能找到，使得，则，
所以，解得．
故答案为：．
①抽象函数的性质（定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性）
②常见抽象函数模型①—一次函数、二次函数、反比例函数
③常见抽象函数模型②—指对幂函数、三角函数
④复合函数的应用
增
增
增
增
减
减
减
增
减