2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展04指对幂值的比较大小的常见七大类型(精讲+精练)(学生版+解析)

这是一份2025年高频考点归纳与方法总结(新高考通用)思维拓展04指对幂值的比较大小的常见七大类型(精讲+精练)(学生版+解析)，共35页。试卷主要包含了必备知识整合，估值比较大小等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、估值比较大小
根式：，，，
分式：，
指数式：，，
对数式：，，，
三角式：，
三、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
（1）与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
（2）六大超越函数图像
三、放缩法
常用的放缩不等式
（1）；
（2）（），当时取等号；变式：,当时取等号；
（3）（），当时取等号；变式：；
（4）（），当时取等号；
（5）（），当时取等号.
二、考点分类精讲
【典例1】（2024.福建宁德高三统考）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·天津河东一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【典例5】（2024·广东广州一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例6】（2023·安徽高三校联考模拟）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>>c
【典例7】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练-刷模拟】
1.利用单调性
一、单选题
1．（2024·上海宝山·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南·一模）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2.作差作商法
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
4.利用构造函数
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
5.数形结合法
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
6.估算法
一、单选题
1．已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西榆林高三专题检测）若，，，，则，，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C．D．
7.放缩法
一、单选题
1．已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．①利用单调性
②作差作商法
③利用中间值
④利用构造函数
⑤数形结合法
⑥估算法
⑦放缩法
表达式
图像
表达式
图像
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展04 指对幂值的比较大小的常见七大类型（精讲+精练）
一、必备知识整合
一、常规思路
1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.
3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。
二、估值比较大小
根式：，，，
分式：，
指数式：，，
对数式：，，，
三角式：，
三、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
（1）与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
（2）六大超越函数图像
三、放缩法
常用的放缩不等式
（1）；
（2）（），当时取等号；变式：,当时取等号；
（3）（），当时取等号；变式：；
（4）（），当时取等号；
（5）（），当时取等号.
二、考点分类精讲
【典例1】（2024.福建宁德高三统考）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为以及是上的单调减函数，
故可得，，即，；
又因为，
而是上的单调增函数，则，即.
故.故选：D.
【典例2】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，，然后利用换底公式及作差法即得.
【详解】∵，，，
又，
，所以，即，
，即，∴.故选：A.
【典例3】（2023·天津河东一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
，所以.故选：C.
【典例4】（2023·江西九江高三专题检测）已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，由，得，
设，则，
当时，单调递增，因，
当且仅当时取等号，故，
又，所以，故，
∴，则，即有，故.故选:C．
【典例5】（2024·广东广州一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.
解：因为均为大于0的实数，
所以，
进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知
故选：C
【典例6】（2023·安徽高三校联考模拟）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>a>>c
【答案】A
【解析】令，则，∴在上单调递增，
，即，
∴，
又，，
∵，，
，故，
∴．
故选：A．
【典例7】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．
【详解】，，，
，，，
，，
，
故选：．
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：B
3．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
4．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
6．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
7．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
8．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
【题型训练-刷模拟】
1.利用单调性
一、单选题
1．（2024·上海宝山·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.
【详解】，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
2．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过求导可知在上单调递增，再利用函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】函数的定义域为，
由得，
所以在上单调递增，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，
即.
故选：.
3．（2024·云南·一模）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据将进行转化，再利用在上为增函数进行判断即可.
【详解】由得：，，，
因为在上为增函数，
所以，
即.
故选：B.
4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项.
【详解】因为，所以.
因为，
所以，即，
又，
所以，又在区间上单调递减，
所以，
即.
故选:A.
5．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
【详解】当时，，所以在上单调递增；
又有为上的偶函数，所以在上单调递减.
由于我们有，
即，故.
而，，，故.
故选：C.
6．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据周期性及偶函数的性质得到，，再比较、、的大小，结合函数在上的单调性即可判断.
【详解】因为，所以是以为周期的周期函数，
又为偶函数，所以，，
又且在上单调递减，
所以，
即.
故选：D
2.作差作商法
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当时，，故AD错误；
当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，因为，所以且，
则，
所以，故C正确.
故选：C.
2．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为，所以.，
因为，
且，所以，所以，所以.故.
故选： A
3．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.
【详解】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，
故选：B．
5．（22-23高一下·四川泸州·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数单调性以及作商法，可得答案.
【详解】由，则，，
由，且，
则，
由，则，故，，
由，，，则，
由，，，则，
综上可得.
故选：A
3.利用中间值
一、单选题
1．（2023·天津和平·三模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可.
【详解】因为在定义域上单调递减，所以，
又在定义域上单调递增，所以，
在定义域上单调递减，所以，
所以.
故选：B
2．（2024·江西上饶·模拟预测）设，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小即得.
【详解】由，得，，
，且，所以.
故选：B
3．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小.
【详解】由函数是增函数，则，所以，
由函数是增函数，则，所以，
由函数是减函数，则，所以，
由，，
由函数是增函数，则，即，
故选：B.
4．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，，则，，大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断，，的范围，即可比较，，的大小．
【详解】因为，，
，
所以．
故选：A．
5．（2024·河南·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将分别化为，利用对数函数单调性比较可得.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，所以，
综上，.
故选：C
6．（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“”比较大小即可.
【详解】，
，
，
，.
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数单调性可知，利用对数的运算法则得到，再由余弦函数的性质可知，即可求得结果.
【详解】由指数函数的性质可知，
由对数函数的单调性可知，．
又，所以，即．
故选：B．
8．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先判断，，且，根据对数函数的性质可得，即可判断.
【详解】因为，
又，则，且，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
4.利用构造函数
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数单调性，比较.
【详解】由知，∵，∴.知.
故选：B.
2．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断的单调性，从而得到，再利用对数函数的单调性判断出，从而得解.
【详解】因为，
，构造函数，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，所以，即，即，所以；
又，所以，即.
综上，.
故选：.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可比较大小.
【详解】令，则在上单调递增函数，
由于，
则，,，
所以，
故选：B
4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案.
【详解】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案.
5．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数、，以比较、与、之间大小关系.
6．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
而，
令，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，所以，
,
令，
则，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，所以，
综上所述，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键.
5.数形结合法
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析三个数在图象中的几何意义，做出函数图象即可得出三者的大小关系.
【详解】由题意，，，
表示时函数的点的纵坐标，
表示时函数的点的纵坐标，
表示时函数的点的纵坐标，
作出三个函数的图象如图所示，
由图可知，，
故选：A.
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知，则以下四个数中最大的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】当时，推导出，再利用对数的单调性可得出结论.
【详解】当时，如下图所示：

设锐角，锐角的终边交单位圆于点，
设射线交过点且与单位圆相切的直线于点，过点作轴，垂足为点，
则，，，
因为，即，即，
因为，则，，所以，，，
又因为，则，所以，，
所以，，
故选：D.
3．（2024·江西·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】令，，构造函数，作出函数图象，即可比大小.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，可得，
令，，
所以，
设，，，
作出它们的图象如图：
由图可知.故选项A正确.
故选：A.
，
，所以.
故选：C.
7.放缩法
1．已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
解：，，选D
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，则，
因为，
所以，，则，所以
因为
，即，因此，．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【答案】C
【解析】由题意得，m＝lg4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴，即，
∴，∴，∴，∴．
令，则，
∴在上单调递增，∴，即，∴，∴．
故选：D．
5．（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为， ，考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，所以，
所以，即，又，所以，故，故选：B.
①利用单调性
②作差作商法
③利用中间值
④利用构造函数
⑤数形结合法
⑥估算法
⑦同构法
⑧放缩法
表达式
图像
表达式
图像