人教版九年级数学上册重点压轴题专项讲练21.2根的判别式与含参问题(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

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专题21.2 根的判别式与含参问题思想方法分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。知识点总结一、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac0Δ2=9−4(3+t)=0，∴t>−134t=−34，∴t=−34，此时，x2−4x+3=x−34，∴x2−4x+3=x−34或x2−4x+3=−x+34，解得x=5±102，或x1=x2=32，∴满足题意的t的值是t=−34；（2）Δ1=25−4(3−t)=0Δ2=9−4(3+t)>0，∴t=−134t0，且两方程恰有一个相同的根，∴t>−134t0，∴方程ax2+5x+c=0有两个不相等的实数根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴ac2+bc+c=0，∴cac+b+1=0，∴c=0或ac+b+1=0，即有两种可能性，故③错误；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则根据求根公式的：x0=−b+b2−4ac2a或x0=−b−b2−4ac2a，∴2ax0+b=b2−4ac或2ax0+b=−b2−4ac，∴b2−4ac=2ax0+b2，故④正确，正确的为：①②④．故选：B．3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　）①方程x2−x−2=0是倍根方程；②x−2mx+n=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若p，q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac．A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=px+1x+q=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0x−2x+1=0，∴x−2=0或x+1=0，解得，x1=2，x2=−1，得，x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是倍根方程；故①不正确；②若x−2mx+n=0是倍根方程，x1=2，因此x2=1或x2=4，当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=m+n4m+n=0，故②正确；③∵pq=2，则：px2+3x+q=px+1x+q=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，若x1=2x2，则−b+b2−4ac2a=−b−b2−4ac2a×2，即−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a×2=0，∴b+3b2−4ac2a=0，∴b+3b2−4ac=0，∴3b2−4ac=−b，∴9b2−4ac=b2，∴2b2=9ac．若2x1=x2时，则，−b+b2−4ac2a×2=−b−b2−4ac2a，则−b+b2−4ac2a×2−−b−b2−4ac2a=0，∴−b+3b2−4ac2a=0，∴−b+3b2−4ac=0，∴b=3b2−4ac，∴b2=9b2−4ac，∴2b2=9ac．故④正确，∴正确的有：②③④．故选：B．4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于x的一元二次方程ax2+2a−1x+a−13=0至少有一个整数根，且a为正整数，则满足条件的a共有 个．【思路点拨】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式Δ=b2−4ac≥0，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2a−1x+a−13=0有整数根，∴Δ=2a−12−4aa−13=48a+1≥0且a≠0，解得a≥−148且a≠0，∴方程的根为x=−2a−1±48a+12a=−1+12a±48a+12a，根据根与系数的关系可得x1+x2=−2a−1a=−2+1a，x1x2=a−13a=1−13a，且a为正整数，∴1≤a≤13，∵48a+1为完全平方数且a为正整数，∴48a+1=49或48a+1=289或48a+1=625，解得a=1或6或13，即满足条件的a共有3个，故答案为：3．5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的方程m−3x2+m−11x−8=0的根都是整数，且m满足等式7−mm−2=7−mm−2，则所有满足条件的整数m的值之和是 ．【思路点拨】本题考查了分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结合有意义的条件，计算确定m的值，后求和即可．【解题过程】解：∵7−mm−2=7−mm−2，∴7−m≥0,m−2＞0，解得2