2023-2024学年山东省德州市武城县甲马营中学九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省德州市武城县甲马营中学九年级（上）第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝（ ）
A．0B．2C．﹣2D．±2
2．（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2005＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005B．2003C．﹣2005D．4010
3．（4分）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．a＞2C．a≤2且a≠1D．a＜﹣2
4．（4分）一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
5．（4分）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x﹣1）2﹣2D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（4分）二次函数y＝ax2+|b|x+c，其对称轴为x＝﹣1，若，，（3，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
7．（4分）已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．6或12或15
8．（4分）关于x的方程（m﹣3）﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．3或﹣1
9．（4分）某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（ ）
A．200+200（1+x）2＝1400
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400
C．200（1+x）2＝1400
D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400
10．（4分）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（4分）如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．abc＜0
B．这个函数的最小值是﹣12
C．一元二次方程ax2+bx+c+8＝0的根是x1＝0，x2＝3
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示且过（﹣1，0），有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．⑥若实数m≠1则a+b＞am2+bm；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（4分）把抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，则a+b+c的值为 ．
14．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+1，则当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是 ．
15．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为 ．
16．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1＝0的解为 ．
17．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则当﹣3≤x≤2时，y的最大值为 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD＝16，则四边形ABCD的面积最大值是 ．
三、解答题（共78分）
19．（12分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣99＝0；
（2）x2+5x＝7；
（3）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x﹣3．
（Ⅰ）求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当x≥2时，求函数y的最小值．
21．（10分）已知方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
22．（10分）要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）．
（1）求围栏的长和宽；
（2）能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由．
23．（10分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
24．（12分）某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人．
25．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省德州市武城县甲马营中学九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1． 解：由题意，得
|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2，
故选：C．
2． 解：α，β是方程x2+2x﹣2005＝0的两个实数根，则有α+β＝﹣2．
α是方程x2+2x﹣2005＝0的根，得α2+2α﹣2005＝0，即：α2+2α＝2005．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝α2+2α﹣2＝2005﹣2＝2003．
故选：B．
3． 解：当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程为﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
∴a＝1符合题意；
当a﹣1≠0，即a≠1时，∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＝8﹣4a≥0，
解得：a≤2且a≠1．
综上所述：a的取值范围为a≤2．
故选：A．
4． 解：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根．
故选：C．
5． 解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．
故选：D．
6． 解：∵对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上．
∵，，3﹣（﹣1）＝4，
∴离对称轴最近，（3，y3）离对称轴最远，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
7． 解：把x＝2代入方程x2﹣（5+m）x+5m＝0得4﹣2（5+m）+5m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣7x+10＝0，解得x1＝2，x2＝5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5+5+2＝12．
故选：B．
8． 解：∵关于x的方程（m﹣3）﹣mx+6＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣1，
∴原方程为﹣4x2+x+6＝0，它的一次项系数是1．
故选：B．
9． 解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400．
故选：B．
10． 解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．
故选：B．
11． 解：∵抛物线经过点（0，﹣8），（3，﹣8），
∴抛物线对称轴为直线x＝，c＝﹣8＜0，
∵抛物线经过点（﹣2，12），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝，
∴b＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，
∴当x＝时，y有最小值，故B不符合题意；
∵抛物线经过点（0，﹣8），（3，﹣8），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的根是x1＝0，x2＝3，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，
∴x＞时，y随x增大而增大，故D不符合题意．
故选：C．
12． 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
∴b＝﹣2a＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
由图象经过点（﹣1，0）可得：a﹣b+c＝0，
故②错误；
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴x＝0和x＝2时，函数值相等．
∵x＝0时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故③正确；
由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，
∴，即b＝﹣2a，
故④错误；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，
故⑤错误；
当x＝1时，y＝a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，又m≠1
∴a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞am2+bm，
∴⑥正确．
综上可知正确的只有③⑥，2个．
故选B．
二、填空题（每题4分，共24分）
13． 解：∵，
抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，
∴，
∴，
解得：，
∴a+b+c＝1+（﹣2）+2＝1，
故答案为：1．
14． 解：∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∵对称轴为直线x＝2，有最大值5，
把x＝0代入y＝﹣x2+4x+1得，y＝1，
∴当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是1≤y≤5，
故答案为：1≤y≤5．
15． 解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91，
解得：x＝9或x＝﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x＝9；
故答案为：9
16． 解：（x﹣4）*1＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1＝x2﹣10x+25＝0，即（x﹣5）2＝0，
解得 x1＝x2＝5，
故答案为：x1＝x2＝5．
17． 解：根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称，
即对称轴是直线，
设二次函数的表达式是，
把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：
，
解得：a＝1，，
∴，
所以该二次函数的表达式是；
函数图象如图所示，
由图象可得：当﹣3≤x≤2时，﹣，最大值为4．
故答案为：4．
18． 解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝16﹣x，
则：S＝AC•BD＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+32，
当x＝8时，S最大＝32；
所以AC＝BD＝8时，四边形ABCD的面积最大，
故答案为：32．
三、解答题（共78分）
19． 解：（1）x2﹣2x﹣99＝0，
x2﹣2x+1＝100，
（x﹣1）2＝100，
x﹣1＝±10，
所以x1＝11，x2＝﹣9；
（2）x2+5x＝7，
x2+5x﹣7＝0，
Δ＝52﹣4×1×（﹣7）＝53，
x＝
所以x1＝，x2＝；
（3）4x（2x+1）＝3（2x+1），
4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
（2x+1）（4x﹣3）＝0，
2x+1＝0或4x﹣3＝0，
所以x1＝﹣，x2＝．
20． 解：（Ⅰ）∵y＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1））2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
当x≥﹣1时，此函数y随x的增大而增大．
∴当x＝2时，y有最小值5．
21． （1）证明∵Δ＝（k+1）2﹣4×（﹣6）
＝（k+1）2+24＞0，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝k+1，2t＝﹣6，
所以t＝﹣3，则2﹣3＝k+1，解得k＝﹣2，
所以k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3．
22． 解：（1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50﹣2x）米，
依题意得：x（50﹣2x）＝300，即2x2﹣50x+300＝（x﹣15）（2x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝15，
∵，
解得：≤x＜，
∴x＝15，50﹣2x＝20．
答：围栏的长为20米，围栏的宽为15米．
（2）假设能围成，设围栏的宽为y米，则围栏的长为（50﹣2y）米，
依题意得：y（50﹣2y）＝400，即2y2﹣50y+400＝0，
∵Δ＝（﹣50）2﹣2×4×400＝﹣700＜0，
∴该方程没有实数根．
故假设不成立，即不能围成面积为400m2的长方形围栏．
23． 解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）＝64
x＝7或x＝﹣9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×7＝448（人）．
答：第三轮将又有448人被传染．
24． 解：设该单位这次参加旅游的共有x人，
∵100×25＜2700，
∴x＞25．
依题意得[100﹣2（x﹣25）]x＝2700，
整理得x2﹣75x+1350＝0，
解得x1＝30，x2＝45．
当x＝30时，100﹣2（x﹣25）＝90＞70，符合题意．
当x＝45时，100﹣2（x﹣25）＝60＜70，不符合题意，舍去．
∴x＝30．
答：该单位这次参加旅游的共有30人．
25． 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在；
令x＝0，则y＝4，
则抛物线与y轴的交点C的坐标是（0，4），
令y＝0，则，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∵点B在点A右侧，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：A（﹣2，0），B（8，0），
连接OP，设点P的坐标为（点P在第一象限的抛物线上），
∴
＝
＝
＝﹣x2+6x+16，
，
∴S四边形PBOC＝S△OBP+S△OCP
＝﹣x2+6x+16+2x
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32，
∵﹣1＜0，
∴四边形PBOC的面积有最大值，
∵0＜x＜8，
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值为32，
此时，
∴点P的坐标为（4，6），
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大，最大值为32．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
12
﹣8
﹣12
﹣8
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
0
4
…