黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知2是方程的一个根，则的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A．3B．-3C．1D．-1
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．2B．1C． D．
9．已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（ ）
A．3或8B．8C．2或8D．2或3
10．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（每题3分，共27分）
11．如图，为的直径，为的弦，连接、，若，则的度数为 度．

12．如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为 °．

13．已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．

14．矩形的边，，以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
15．在如图所示的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心可能是A、B、C、D中的点 ．

16．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由80元降为54元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
17．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
18．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 ．
19．如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为；经过两次翻滚，点A对应点记为；…；经过第2023次翻滚，点A对应点坐标为 ．
三、解答题（共63分）
20．解下列方程：
(1)
(2)
21．如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点、、的坐标分别是、、．

(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
22．根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
23．如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．

(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
24．如图，在中，，，，两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点．

(1)点的速度是点速度的多少倍？
(2)设，的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)求出的最大值．
25．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．点P是直线下方抛物线上的一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成1：3两部分，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据方程的解的定义即可求出m的值．
【详解】解：已知2是方程的一个根，
把代入，得：
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的定义．
2．C
【分析】二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：满足二次函数的定义，符合题意；
D：二次项在分母位置，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．
3．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．
4．D
【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵线段是的直径，于点E，，
∴，
∴在中，可有，
∴半径是10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
5．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系求代数式值，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为，题目比较简单．
7．B
【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.
【详解】解：①当0＜x≤4时，y=x2，
②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键.
8．C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键．
9．C
【分析】分为两种情况：①当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点， ②当圆心在三角形的外部时，连接交于D点，再利用勾股定理求解即可．
【详解】分两种情况讨论：
①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点，连接，
∵，
∴，
根据垂径定理得，则，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴高；
②当圆心在三角形的外部时，如图2，连接交于D点，
同理可得：，，，
三角形底边上的高．
所以边上的高是8或2，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．
10．B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以；
因为对称轴是直线，
所以，；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以，
所以；
故①错误；
因为，

所以，，
所以，即，
所以，
所以，
所以，即②正确；
所以，即③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以，
所以，
所以，
所以，④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
11．
【分析】如图所示，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三角形内角和定理求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
12．15
【分析】根据旋转的性质得出，，再根据平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．
【分析】解方程，得出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．
【详解】解：当时，，
解得：
∴二次函数的图象与轴的交点为，
由函数图象可得的的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
14．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】如图所示：
在直角△BCD中CD=AB=3，BC=4，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5，
故答案是：3＜r＜5．
【点睛】考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
15．B
【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，分别作出、的垂直平分线，结合图形找出两条垂直平分线的交点即可得到答案．
【详解】如图，连接、，

分别作、的垂直平分线，
结合图形可知，两条垂直平分线相交于点B，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．
16．
【分析】第一次降价后价格为：，第二次再在第一次的基础上降价，即第二次降价后的价格为，据此列方程即可作答．
【详解】根据题意可得一元二次方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是理解题意列出方程．
17．或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
18．或2．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝；
如图②，
BD＝×2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝，
故答案为或2．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
19．
【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：点，，，，……，
由此发现，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，
∵长方形的周长为：，
每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变，
，
∴经过第2023次翻滚，点A对应点坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
，，
∴
解得，；
（2）
即
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平移的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的对应点坐标为，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．

（3）解：的面积为．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移的性质，网格中三角形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
22．A公司参加这次旅游的员工有40人．
【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质可得，，根据等边对等角可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可根据切线的判定定理证明结论；
（2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴DC是的切线；
（2）解：设的半径为r，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
24．(1)倍
(2)
(3)
【分析】（1）由两点同时出发同时达到点C可知，速度比等于路程比；
（2）分点Q在上，点Q在上两种情况，用含x的代数式表示出的底和高，即可求解；
（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：中，，，，
，
，
，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，
点的速度与点的速度比为：，
即点的速度是点速度的倍；
（2）解：分两种情况，当点Q在上时，如图：

由（1）知点的速度是点速度的倍，
，
，，
，
，
；
当点Q在上时，作交于点H，如图：

，，
，
，
，
，，
，
；
综上可知，；
（3）解：对于，
当时，y取最大值，最大值为；
对于，
，
当时，y取最大值，最大值为，
，
y的最大值为．
【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及二次函数的应用，求二次函数的最值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，综合运用上述知识点，注意分情况讨论是解题的关键．
25．(1)，
(2)，证明见解析
(3)，
【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论；
（2）作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以；
（3）同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，证明，求出，，继而得到，过A作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质求出，可得，利用勾股定理可得．
【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，
由旋转得：，，，，
，
即点、、共线，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，，理由是：
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，

由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，

由旋转得：，，，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．
26．(1)
(2)当时，取得最大值，此时点P的坐标为
(3)存在点P，使得线段把的面积分成1：3两部分，点P的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设，则，，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）延长交y轴于点F，设，则，分两种情况：当时，当时，分别得出或3，建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点，，
∴，解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）设，设交于点E，如图，
则，，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴、均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，取得最大值，
此时点P的坐标为；
（3）存在点P，使得线段把的面积分成两部分．
如图，延长交y轴于点F，设，则，
当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴；
当时，同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成1：3两部分，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积的综合，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.
旅游人数
收费标准
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超过30人
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