广东省珠海市凤凰中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷）

这是一份广东省珠海市凤凰中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷），共31页。试卷主要包含了全卷共4页等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审核人：
说明：1．全卷共4页。满分120分，考试用时120分钟。
2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效。
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔。
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一个三角形两边长分别为4，8，其第三边长不可能为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ）
A. B. 3C. 1D. 5
4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）

A. B. C. D.
5. 正多边形一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
6. 某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A. △ABC三边高线的交点处B. △ABC三角角平分线的交点处
C. △ABC三边中线的交点处D. △ABC三边垂直平分线的交点处
7. 如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为
A 6B. 7C. 8D. 9
8. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
10. 如图，已知等腰、等腰，连接交y轴于P点，Q、A两点均在x轴上，点且．则的长度是（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 正十边形的每个内角等于________度
12. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为______．
13. 等腰三角形一个角是，则它的底角为________°
14. 数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积________．
15. 如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，AD平分∠BAC，DF⊥AB，若AE＝8，则DF＝_____．
16. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有________（请填序号）①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分．
三．解答题（共3小题，每题7分，共21分）
17. 如图，，，，垂足分别为，，．求证：
18. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．求：
（1）过点C作的垂线交于点D．
（2）已知，求的度数．
19. 如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B=30°，∠BAC=120°，求∠E的度数；
（2）证明：∠BAC=∠B+2∠E．
四、解答题（共3小题，每题9分，共27分）
20. 如图，点C在线段上，，，，
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
21. 如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
22. 如图，在中，，点D是的中点，交于E，点O在上，，

（1）求证：
（2）若，，求的长．
五、解答题（共2小题，每题12分，共24分）
23. 如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接．
（1）尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
24. 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

图1 图2 图③
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标．
珠海市凤凰中学2023-2024学年度第一学期期中质量监测
山海年级数学
说明：1．全卷共4页。满分120分，考试用时120分钟。
2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效。
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔。
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 已知一个三角形的两边长分别为4，8，其第三边长不可能为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】先求出第三边的范围，然后选择即可．
【详解】∵第三边，
即第三边，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ）
A. B. 3C. 1D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个点关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出结果．
【详解】解：∵点和关于y轴对称，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对称点的坐标，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点．
4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
5. 正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数60°，计算即可．
【详解】解：边数＝360°÷60°＝6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，360°除以每一个外角的度数就等于正多边形的边数，需要熟练记忆．
6. 某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A. △ABC三边高线的交点处B. △ABC三角角平分线的交点处
C. △ABC三边中线的交点处D. △ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由、的平分线相交于点E，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可求得结论．
【详解】解：、的平分线相交于点E，
，，
，
，，
，，
，，
，
即．
，
，
故选C．
【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握此题关键是证明是等腰三角形．
8. 如图，，点E在线段AB上，，则的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．
【详解】解：∵，
∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，
∵，
∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DE＝4，证明 再利用线段的和差关系可得答案.
【详解】解： ∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DE＝4，



故选C
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键.
10. 如图，已知等腰、等腰，连接交y轴于P点，Q、A两点均在x轴上，点且．则的长度是（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据点且求得，过N作交y轴于H，则，证明，得出，，然后再最后判定得出，即可求得的值．
【详解】解：∵点且．
∴，，
∴
过N作交y轴于H，则，
等腰、等腰，
∴
∴
∴
又∵
∴
在和中，
∴
∴，，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，证明及是解题的关键．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 正十边形的每个内角等于________度
【答案】144
【解析】
【分析】根据正多边形每个角的度数为：求解即可．
【详解】解：正十边形的每个内角，
故答案为：144．
【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，正多边形每个内角度数公式：或．
12. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的外角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意，一副三角尺，
∴，，
∴，且，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查特殊角的和差，三角形的外角和定理，理解角的位置关系，角的和差，外角和定理是解题的关键．
13. 等腰三角形的一个角是，则它的底角为________°
【答案】50或80
【解析】
【分析】依据三角形的内角和是以及等腰三角形的特点即可解答．
【详解】解：当角为等腰三角形的顶角时，等腰三角形的底角为：
，
=，
=；
当角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的底角为；
综上分析可知，等腰三角形的底角为或．
故答案为：50或80．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．
14. 数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积________．
【答案】##24平方厘米
【解析】
【分析】根据，，得出B、D在线段的垂直平分线上，说明垂直平分，根据求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴B、D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定得出垂直平分．
15. 如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，AD平分∠BAC，DF⊥AB，若AE＝8，则DF＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】如图，过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DF=DG，求出∠DEG=∠DAE+∠ADE＝30°，DE=AE=8，根据直角三角形30° 角的性质得到，即可得到DF=4．
【详解】解：如图，过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，
∴DF=DG，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DEG=∠DAE+∠ADE＝30°，DE=AE=8，
∴，
∴DF=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，直角三角形30°角的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
16. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有________（请填序号）①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①根据证明即可；
②证明，得出，即可证明；
③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；
④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴不可能是等边三角形，故③错误；
④∵，
∴，，
∴点M、B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
三．解答题（共3小题，每题7分，共21分）
17. 如图，，，，垂足分别为，，．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先通过等量代换得出，然后利用HL证明，则结论可证．
【详解】证明：，，垂足分别为，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
18. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．求：
（1）过点C作的垂线交于点D．
（2）已知，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）在上取点E，以点C为圆心，以为半径画弧，交于另一点F，分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，连接，交于点D；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出的度数．
【小问1详解】
如图，即为的垂线；
【小问2详解】
∵的垂线是，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了尺规作图作垂线，直角三角形两锐角互余的性质，正确掌握作图方法及直角三角形的性质是解题的关键．
19. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B=30°，∠BAC=120°，求∠E的度数；
（2）证明：∠BAC=∠B+2∠E．
【答案】（1）∠E=45°；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACD，即可求出∠ECD，再根据三角形外角的性质求出∠E即可；
（2）利用角平分线定义和三角形外角的性质求出∠ECA=∠B+∠E，再次利用三角形外角的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵∠B=30°，∠BAC=120°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=150°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=75°，
∴∠E=∠ECD－∠B=45°；
【小问2详解】
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ECA，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠ECA=∠B+∠E，
∴∠BAC=∠E+∠ECA=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
四、解答题（共3小题，每题9分，共27分）
20. 如图，点C在线段上，，，，
（1）求证：等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质证得，进而证明，得到，即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到，，利用外角性质得到，由等腰三角形的三线合一得到，即可得到的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，三角形外角的性质，平行线的性质，综合掌握各性质是解题的关键．
21. 如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是中点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）50
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，，证明，则，，，然后证明即可；
（2）由题意知，由，可得，则，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，M，N分别是的中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为50．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22. 如图，在中，，点D是的中点，交于E，点O在上，，

（1）求证：
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到，由等边对等角得到，，即可利用三角形内角和求出；
（2）过点O作于点F，根据直角三角形30度角的性质得到，，求出，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵点D是的中点，交于E，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点O作于点F，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等边对等角求角度，直角三角形30度角的性质，等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
五、解答题（共2小题，每题12分，共24分）
23. 如图，在中，，的垂直平分线交于 N，交于M，连接．
（1）尺规作图：作的平分线与交于点D，与交于点E；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）若，，在直线上是否存在点P，使由P，B，C构成的的周长值最小？ 若存在，标出点P的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在；的周长的最小值为14cm
【解析】
【分析】（1）根据作角平分线的基本作图步骤进行解答即可；
（2）根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质，得出，根据等腰三角形性质得出，最后根据平分，得出，即可得出答案；
（3）垂直平分，，得出当点P与点M重合时，的周长最小，求出最小值即可．
【小问1详解】
解：即为所求作的角平分线，如图所示：
小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：存在；的周长的最小值为14cm．
∵垂直平分，
，
∴当点P与点M重合时，的周长最小，
∵，，
的周长的最小值为：
．
【点睛】本题主要考查了尺规做一个角平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
24. 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

图1 图2 图③
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明；
（2）同（1）证明，得到，，求出即可；
（3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∵，
∴
∴；
【小问3详解】
第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下：
分三种情况：
①当时，，如图③，
分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②当时，，如图④，
分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F，
同(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴；
③当时，，如图⑤，
分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F，
同(1)得：，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，解得，
∴；
综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．