黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

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12． /120°
13．A>B
14．
15．（1）人.（2）.（3）分布列答案见解析，期望为
【分析】（1）计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可.
（2）根据表格数据可得选考方案确定的男生中选择“物理､化学､生物”的人数，进而得到答案.
（3）求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到分布列和期望.
【详解】（1）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有人
所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
人
（2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人.
设“恰好有一人选物理､化学､生物”为事件A

（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理､化学和生物；有4人选择物理､化学和历史；有2人选择物理､化学和地理；有2人选择物理､化学和政治.
的可能取值为0，1.

所以的分布列为：
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出底面，可知四棱柱为直四棱柱，则底面，可得出，再利用余弦定理结合勾股定理可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为侧面、、均为正方形，
所以，，．
又因为，、底面，所以底面．
由棱柱的性质可知，该四棱柱为直四棱柱，则底面．
又因为底面，所以．
又因为底面为梯形，所以，且该梯形为等腰梯形，
则，则，
由余弦定理可得，
，
解得，又因为，可得，
则，
因为，所以．
因为，、平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且与垂直的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A0,0,0、、、、，
所以，，．
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则，取，则．
由（1）可知，平面，所以为平面的一个法向量，
记为．
所以．
由题图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义列方程即可解决；
（2）按照参数a分类讨论函数的单调性，进而找到合适的参数a，使得函数在处取得极小值；
（3）证明函数在实数集R上没有最小值，可以通过证明函数在单调递增区间上有比极小值小的函数值来实现.
【详解】（1），
，
曲线在点处的切线斜率为0，
可得，
解得；
（2），
若，
则时，，递增；时，，递减．
故在处取得极大值，不符题意；
若，则，递增，无极值，不符题意；
若，则，
当或时，；当时，，
故在，递减；在，递增，
可得在处取得极小值，符合题意；
若，则，同理可得在递减；在，，递增，
可得在处取得极大值，不符题意；
若，则，在，递增；在，递减，
可得在处取得极大值，不符题意；
综上可得，的范围是．
（3）证明：由（2）得：时，，
在递增、在，递减、在递增，
极小值，
由，可知时,
即在增区间上，有函数值比函数极小值小，
故没有最小值.
18．(1)
(2)存在，
【分析】
(1)根据点到焦点F的距离为3，即R到准线的距离为3，列方程可得m；
(2)假设存在实数m满足条件，列方程求解m即可.
【详解】（1）∵抛物线，∴焦点．
∵，∴．
（2）假设存在实数m满足题意．由，消去y得，
恒成立,
设，，则，,
∵P是线段AB的中点，∴，
即，∴,
∵是以Q为直角顶点的直角三角形，
∴．∵，，
∴，
化简得，∴或（舍去）,
∴存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形．
19．（1）存在表1，使得bi，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得；（2）证明见解析；（3）k＝39.
【解析】（1）由，，可知存在表1，使得；若，则，故，故不存在；
（2）对于任意的，都有成立，进而得，故，同理由对于任意的，都有得.
（3）取特殊表1，得，再证明即可得.
【详解】解（1）存在表1，使得bi，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得.
证明：（2）因为对于任意的，都有.
所以.
所以，
即.
由于，都有.
所以
所以，
即.
解：（3）当表1如下图时，
其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意.
重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39.
以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含），
假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、
则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数.
这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.
所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数.
其次，在表2中，根据重排规则得：当时，，（）.
所以，
所以.
综上所述.
0
1
0
1
1
…
1
1
0
1
1
…
1
1
1
0
1
…
1
1
1
0
1
…
1
1
1
1
0
…
1
1
1
1
0
…
1
1
…
…
…
…
1
1
1
1
1
…
0
1
1
1
1
…
0
1
1
1
1
…
1
0
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1
1
…
1
0