黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是关于x的方程的一个根，，则（ ）
A. 0B. 2C. 1D. 4
3. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A 5B. 4C. 3D. 2
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设函数，则的最小值为（ ）
A. 780B. 390C. 400D. 200
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（ ）

A. B. C. D.
8. ，用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A.
B
C. 在上为增函数
D. 函数在上有且只有2个零点
10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则
B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 已知点G为三条边的中线的交点，则
D. 已知，则在上投影的坐标为
11. 设函数且，则（ ）
A. 函数和的图像关于直线对称
B. 函数和的图像的交点均在直线上
C. 若，方程的根为，方程的根为，则
D. 已知，若恒成立，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______.
13. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______．
14. ，若定义，则中的元素有_______个．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知公差d不为0的等差数列an的前n项和为.
（1）求an的通项公式；
（2）令，记为数列bn的前n项和，若，求n的最小值.
16. 已知函数．
（1）当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值；
（2）讨论在上的单调性．
17. 已知函数.
（1）求方程在上的解集；
（2）设函数；
（i）证明：在有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：.
18. 已知函数．
（1）若在上为增函数，求的值范围；
（2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值；
（3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围．
19. 已知函数．
（1）若，证明：；
（2）记数列的前n项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，证明：．