内蒙古包头市景泰艺术中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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1．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
解析：。
2 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：B
解析：，。
3函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解：函数的定义域为R，，
则函数f（x）为奇函数，排除选项AC；
又当x＞0时，f（x）＜0，
则排除选项B，选项D符合题意．故选：D．
4已知函数的定义域为A，则“x∈（0，+∞）”是“x∈A”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：由题意可得，，解得x≥﹣1且x≠0，
故A＝{x|x≥﹣1且x≠0}，
当x＞0时，x∈A一定成立，即充分性成立；
当x∈A时，x＞0不一定成立，即必要性不成立．故选：A．
5已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），则函数的定义域为（ ）
A．（﹣2，5）∪（5，+∞）B．[﹣2，5）∪（5，+∞）
C．（2，5）∪（5，+∞）D．[2，5）∪（5，+∞）
答案：D
解析：依题意，，解得x≥2且x≠5，
则所求函数的定义域为[2，5）∪（5，+∞）．故选：D．
6 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
答案：B
解析：，
则，，，
故c2＞b2＞a2，
又a＞0，b＞0，c＞0，
则c＞b＞a．
故选：B．
7已知命题p：∃x∈[0，3]，a＝﹣x2+2x；命题q：∀x∈[﹣1，2]，x2+ax﹣8≤0，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣3，1]B．（﹣∞，2]
C．[﹣7，﹣3）∪（1，2]D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2]
答案：C
解析：命题p：∃x∈[0，3]，a＝﹣x2+2x为假命题，
即∀x∈[0，3]，a≠﹣x2+2x为真命题，
当0≤x≤3时，﹣x2+2x∈[﹣3，1]，
故a＞1或a＜﹣3，
命题q：∀x∈{x|﹣1≤x≤2}，x2+ax﹣8≤0为真命题，
则，解得﹣7≤a≤2．
综上可得，a的取值范围是[﹣7，﹣3）∪（1，2]．故选：C．
8我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为（ ）cm2．
A．B．C．D．
答案：A
解析：根据题意，设△ABC中，b＝6，则a+c＝14，可得，
将a+c＝14代入，可得，
根据基本不等式，可得，解得ac≤49，所以S≤＝，当且仅当a＝c＝7时取等号．
因此，a＝c＝7时，△ABC面积的最大值为．故选：A．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得三分，选错或不选得0分。）
9下列说法不正确的是（ ）
A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”
B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}
C．集合A＝{1，a}，B＝{1，a2，4}，若A∪B＝B，则a的值为0或4
D．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
答案：AB
解析：对于A，命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x＜1，都有x2≥1”，故A错误；
对于B，因为A∩B＝B，
所以B⊆A，
因为A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，
所以当B＝∅时，a＝0，
当B≠∅时，或，解得a＝﹣1或a＝2，
综上，实数a的取值集合为{﹣1，0，2}，故B错误；
对于C，因为A∪B＝B，所以A⊆B，
因为B＝{1，a2，4}，A＝{1，a}，
当a＝a2时，即a＝0或a＝1，
若a＝1时，A＝{1，1}，B＝{1，1，4}不成立，
当a＝4时，A＝{1，4}，B＝{1，16，4}成立，
若a＝0时，A＝{1，0}，B＝{1，0，4}成立，
综上，a的值为0或4，故C正确；
对于D，因为M∪N＝M，所以N⊆M，
因为M＝{0，1}，集合元素个数为2个，即集合M的子集个数为22＝4．
所以集合N的个数为4，故D正确．
故选：AB．
10下列存在量词命题中真命题是（ ）
A．∃x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．∃x0∈Z，1＜5x0＜3
答案：ABC
解析：对于A，∃x∈R，x≤0，如x＝﹣3，﹣3≤0，所以是真命题；
对于B，至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数，如1是整数，它既不是合数，也不是素数，所以是真命题；
对于C，∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，如x＝π，π2是无理数，所以是真命题；
对于D，因为1＜5x0＜3，所以＜x0＜，所以x0不是整数，是假命题．故选：ABC．
11下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．与表示同一个函数．
B．“1＜x＜3”的充分不必要条件是“0≤x≤4”．
C．已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则的取值范围的取值范围是（﹣3，﹣1）．
D．函数的值域为．
答案：AC
解析：函数的定义域为[﹣1，1]，与的定义域为[﹣1，1]相同，
而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确；
满足0≤x≤4的数不一定满足1＜x＜3，满足1＜x＜3的数一定满足0≤x≤4，
则“1＜x＜3”是“0≤x≤4”的充分不必要条件，故B不错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，∴，则，
又2＜a＜3，∴，则，即的取值范围的取值范围是（﹣3，﹣1），故C正确；
令，则x＝t2+1，∵，t≥0，
∴，即函数的值域为[1，+∞），故D错误．
故选：AC．
三、填空题题（共3小题，每小题5分，共15分）
12函数的定义域是_____
答案：[﹣4，1）∪（1，+∞）
解析：要使原函数有意义，则，解得x≥﹣4且x≠1．
∴函数的定义域为[﹣4，1）∪（1，+∞）．
13若命题p：∃x∈[﹣2，2]，使得x2﹣2x﹣m2+2m≥0为假命题，则实数m的取值范围为_____
答案：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
解析：由题意可得，¬p：∀x∈[﹣2，2]，x2﹣2x﹣m2+2m＜0为真命题，
即当﹣2≤x≤2时，x2﹣2x﹣m2+2m＜0恒成立．
因为函数f（x）＝x2﹣2x﹣m2+2m的的对称轴为x＝1，
所以当﹣2≤x≤2时，，所以﹣m2+2m+8＜0，
即m2﹣2m﹣8＞0，解得m＜﹣2或m＞4，
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．
14已知函数f（x）满足3f（x﹣1）+2f（1﹣x）＝2x，则f（x）的解析式为______
答案：
解析：令t＝x﹣1得3f（t）+2f（﹣t）＝2（t+1），
在将t用﹣t代替可得3f（﹣t）+2f（t）＝2（﹣t+1），
联立求解可得f（t）＝，∴．
四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分。）
15．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，，求证：.证明：原式.
解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值.
(2)若，解关于的方程.
解析：（1）已知，则有；
（2）由，
关于的方程可化为：，
即：，
，即，解得：；
16．某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为.
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？
(2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？
解析：（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，
则所需篱笆的长度为，又，
当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短，
此时该菜园的总面积为；
（2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为，
则，
当且仅当即时，等号成立，
此时另一边为，
即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小.
17已知集合，.
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
(2)当集合变为时，求的非空真子集的个数；
(3)若，求实数的取值范围
解析：（1）由已知是的充分不必要条件，
即，无解 或，无解 综上所述，；
（2）由，
用列举法表示可得，
则中共有个元素，
则集合的子集个数为，
所以集合的非空真子集的个数为；
（3）当时，，解得，此时；
当时，若，则，即，
或，无解，综上所述.
18．已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围
解析：（1），，
，解得，.
（2）在0,1上单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
所以函数在0,1上单调递减.
（3）由对任意恒成立得，
由（2）知在0,1上单调递减，
函数在上的最大值为，，
所求实数的取值范围为.
19．已知二次函数满足，且：
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，的值域为，求的取值范围.
(3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围。
解析：（1）设二次函数，，由题意知：
，整理得：，
即：，解得：，
∴；
（2）因为，
所以其图象的对称轴为直线，当时，，
因为当时，，由二次函数图象可知
，解得，
所以的取值范围是；
（3）由（1）知，的图象开口向上，
时，，解得：或，
∴当，，图象在轴下方，
当，，图象在轴上方，
对于，当时，，当时，
图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向上，当时，
图象在图象的上方，不合题意，舍去；
当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，，
即有：，即：.
综上，的取值范围是.