福建省三明市永安九中、沙县金沙高级中学二校协作2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、下列所给关系正确的个数是（ ）①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】①是实数，∴①正确； ②是无理数，∴②正确；
③0不是正整数，∴③错误； ④为正整数，∴④错误． 故选：B.
2、已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．A 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题的否定为：，， 故选：A.
3、设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．D【详解】不等式化为：，于是得“”所对集合为，
不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然，
∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：D
4、不等式的解集是（ ）
A． B．或 C．或 D．
4．【详解】 解不等式得：且，即且，解得或，
故选：B
5、下列各组函数表示的是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【解析】B. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，∴不是同一函数，故错误；
A. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，∴是同一函数，故正确；
C. 的定义域为R，的定义域为，∴不是同一函数，故错误；
D.，由得，∴的定义域为，由，得 或 ，
∴函数的定义域为或 ，∴不是同一函数，故错误；
故选：A
6.已知a>b>0，下列不等式中正确的是( )
A. a-1cb
【答案】C
【解答】 解：对于A，∵a>b，∴a-1>b-1，故A错误；
对于B，取a=2,b=1,a>b>0，但ab=2>1=b2，故B错误；
对于C，∵a>b>0，∴a+1>b+1>0，∴1a+1<1b+1，故C正确；
对于D，取a=2,b=1,c=1,a>b>0，但ca=12<1=11=cb，故D错误． 故选C．
7、函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
7、【分析】由判断. 【详解】 ∵函数， 故选：B
8、已知集合A=1,2,3,4,5，B={x∈N|66-x∈N}，记A-B=xx∈A,且x∉B.则下列等式成立的是( )
A. A∪B=AB. A∩B=AC. A-B=1,2D. B-A=⌀
【答案】C
【解答】解：由66-x∈N可得6-x可能的取值有1,2,3,6，即x=5,4,3,0，均满足x∈N，故B={5,4,3,0}．
对于A项，A∪B={0,1,2,3,4,5}≠A，故 A项错误；
对于B项，A∩B={3,4,5}≠A，故 B项错误；
对于C项，因A-B=xx∈A,且x∉B，故A-B=1,2，故 C项正确；
对于D项，依题有，B-A=xx∈B,且x∉A，则B-A={0}≠⌀，故 D项错误．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知集合A=1,2，B=x|mx=1,m∈R}，若B⊆A，则实数m可能的取值为( )
A. 0B. 1C. 12D. 2
【答案】ABC
【解答】解：当m=0时，B=⌀⊆A成立； 当m≠0时，则B=xmx=1,m∈R=1m，
∵B⊆A，∴1m=1或1m=2，解得m=1或m=12． 综上所述，实数m可能的取值为0、1、12．
故选ABC．
10、下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为5 B．若，则函数的最小值为3
C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为1
10．AC 【详解】 对于A中，由，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，∴的最小值为，∴A正确；
对于B中，由，可得函数，
当且仅当时，即时等号成立，
∵，∴等号不成立，∴函数的最小值为不是，∴B不正确；
对于C中，由，则 ∵，当且仅当时，即时，等号成立，
∴的最大值为，∴C正确；
对于D中，由，可得，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
解得，即，∴的最大值为1，∴D不正确.
故选：AC.
11.下列说法中正确的有( )
A. ∀x1,x2∈R，且x1≠x2，当fx1-fx2x1-x2<0时，fx在R上单调递减
B. 如果函数fx在区间0,1上单调递减，在区间1,2上也单调递减，那么fx在0,2上单调递减
C. 若fx是定义在R上的函数，则y=f-x+fx为奇函数
D. 若fx是定义在R上的偶函数，gx是定义在R上的奇函数，则fgx为偶函数
【答案】AD
解：对于A中，不妨设x10，
即fx1>fx2，∴函数fx在R上单调递减，∴ A正确；
对于B中，如图，函数fx在区间0,1上单调递减，在区间1,2上也单调递减，
当函数fx在0,2上不是单调递减函数，∴ B错误；
对于C中，若fx是定义在R上的函数，设gx=f-x+fx，
可得g-x=fx+f-x=gx，∴函数gx为偶函数，∴ C错误；
对于D中，由函数fx是定义在R上的偶函数，gx是定义在R上的奇函数，
令hx=fgx，可得h-x=fg-x=f-gx=fgx， ∴fgx为偶函数，∴ D正确．故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12、函数的定义域为____________.
【解析】要使函数有意义， 则，解得 因此，函数的定义域为.
13、已知113 解析：∵114.对于a，b∈N*，规定：a⊗b=a+b(a与b的奇偶性相同时)a⋅b(a与b的奇偶性不同时)，已知集合M={(a,b)|a⊗b=24，a，b∈N*}，则M中元素的个数为 个．
【答案】27 【解析】【分析】 本题考查集合的新定义问题，属于一般题．
由⊗的定义，a⊗b=24分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=24；a和b同奇偶，则a+b=24.由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点(a,b)的个数即可．
【解答】 解：a⊗b=24，a、b∈N*，
若a和b一奇一偶，则ab=24，满足此条件的有1×24=3×8，故点(a,b)有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=24，满足此条件的有1+23=2+22=3+21=4+20=…=12+12共12组，故点(a,b)有23个， ∴满足条件的个数为27个． 故答案为：27．
15．已知集合，集合.
(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【详解】（1）解一元二次不等式得：……………………………………………2分
当时，集合， ………………………………………………………………………………………4分
∴，……………………………………………………………………………………………………6分
由已知“”是“”的充分条件，可得集合是集合的子集，………………………………………8分
而，且集合是集合的子集， ∴…………………………………………………………11分
解得； 综上.…………………………………………………………………………………………………13分
16．(本小题15分)
已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=x+ax2+1为奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性并用定义法证明．
(3)解关于t的不等式f(2t-1)+f(t)<0．
【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)为定义在区间(-1,1)上的奇函数，则有f(0)=a=0，………………2分
则函数f(x)=x1+x2，…………………………………………………………………………………………………4分
(2)函数f(x)在(-1,1)上为增函数； 证明如下：设任意-1则f(x1)-f(x2)=x11+x12-x21+x22=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)， ………………………………………………………………7分
又由-10， 则f(x1)-f(x2)<0，………………………………8分
则函数f(x)在(-1,1)上为增函数；…………………………………………………………………………………9分
(3)根据题意，f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，且在(-1,1)上为增函数；
f(2t-1)+f(t)<0⇒f(2t-1)<-f(t)……………………………………………………………………………10分
⇔f(2t-1)⇒2t-1<-t-1<2t-1<1-1解可得：017.(本小题15分)
根据交通法规，京沪高速车辆行驶限速不超过100千米/小时，现有一辆运货卡车以速度x千米/小时，匀速行驶130千米.假设汽油每升2元，而汽车每小时耗油(2+x2360)升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车的总费用y和汽车匀速行驶的速度x之间的函数表达式;
(2)当速度x为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
【答案】解：(1)由题意可得，时间130x………………………………………………………………………………2分
y=2(2+x2360)⋅130x+14⋅130x= …………………………………………………………………………………4分
=2340x+13x8(0(2)∵0当且仅当x=18 10时取等号，……………………………………………………………………………………13分
∴当x=18 10(千米/小时)时，这次行驶的总费用最低，为26 10元． …………………………………………15分
18．已知函数.
(1)若不等式的解集为0,3，求的值；
(2)若不等式对任意的x∈R恒成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.
【详解】（1）∵不等式的解集为0,3，∴方程的两根分别为…………2分
根据韦达定理可知，，…………………………………………………………………4分
解得；…………………………………………………………………………………………………………………5分
不等式对任意的x∈R恒成立，即对任意的x∈R恒成立，………………7分
∴，……………………………………………………………………………………………9分
即，………………………………………………………………………………………………………10分
解得，∴实数a的取值范围为；…………………………………………………………………………12分
（3）即，………………………………………………………………13分
当时，不等式的解为或， ………………………………………………………………14分
当时，不等式的解为或，…………………………………………………………………15分
当时，不等式的解为， …………………………………………………………………………16分
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解为………………………………………………17分
19．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“倒域区间”；
(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【详解】（1）解：当时，则，……………………………………………………………………1分
由奇函数的定义可得，…………………………………………………3分
∴，.…………………………………………………………………………………………5分
（2）解：设，∵函数在上递减，且在上的值域为，
∴，，………………………………………………………………………………………………7分
解得，…………………………………………………………………………………………………………9分
∴，函数在内的“倒域区间”为.……………………………………………………………………10分
（3）解：在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，，∴，，则， 只考虑或，…………………11分
①当时，∵函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，∴，，∴，，………………………………12分
由（2）知在内的“倒域区间”为；………v………………………………………………………13分
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，∴，，∴，. ，………………14分
∵在上单调递减，则，解得，…………………………………15分
∴，在内的“倒域区间”为.………………………………………………………………16分
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.……………………………………17分