2025湖南省沅澧共同体高三上学期第二次联考数学试题含解析

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时量：120分钟 满分：150分
命题单位：常德外国语学校 审题单位：常德市教科院
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 设，则大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6 已知，则（ ）
A B.
C. D.
7. 关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9. 若满足对定义域内任意的，都有，则称为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 图象关于直线对称
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
11. 已知函数是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，且，恒有
C. 函数在上的值域为
D. 若，恒有的一个充分不必要条件是
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的最小值是__________．
13. 用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为__________．
14. 函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知分别为的三个内角的对边，且，，．
（1）求及面积；
（2）若为边上一点，且，求的正弦值．
16. 已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求；
（2）设，数列的前项和为，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
19. 已知是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．