北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案）

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这是一份北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科
本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知集合，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
2．记命题，则为（）
A．B．C．D．
3．集合的真子集有（）个
A．1B．2C．3D．4
4．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）
A．B． C．D．
5．下列函数中，在区间上单调递减的是（）
A．B．C．D．
6．“”是“”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）
A．B．
C． D．
8．若函数的值域为，则函数的图象大致是（）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
10．设，则（）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；
②任取的两个不同子集，对任意都有；
③任取的两个不同子集，对任意都有．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（每题5分，共30分）
13．函数的定义域为________．
14．已知函数，则________．
15．若在上是增函数，能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________．
16．函数的值域为________．
17．已知下列四个函数：．从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则________．
18．已知函数．若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围为________．
三、解答题（每题12分，共72分）
19．已知集合．
（Ⅰ）若，求集合
（Ⅱ）若，求的取值范围．
20．分别求下列关于的不等式的解集：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．
（I）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；
（Ⅱ）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？
22．已知函数．
（I）当时，直接写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值．
23．已知是定义在[3，3]上的奇函数，当]时，．
（I）求在（0，3]上的解析式；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
24．若集合A具有以下性质：
①；
②若，则，且时，．
则称集合是“好集”．
（I）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题：若，则必有；
命题：若，且，则必有．
参考答案
一、选择题DACDC，BDBDC，BA
二、填空题
13．或写为14．2 15．（答案不唯一） 16．
17． 18．
三、解答题
19．（I）（1，5]（Ⅱ）
20．（I）
（Ⅱ）时，解集为[2，]；时，解集为；时，解集为[，2]．
21．解：（I）依题意得温室的另一边长为米．
因此养殖池的总面积，
因为，所以．
所以定义域为．
（Ⅱ），
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．
22．解：（1）当时，，
，
由二次函数的性质知，单调递增区间为（，1]，[2，）．或写为（，1），（2，）
（Ⅱ）∵，[1，2]时，
所以，
当，即时，；
当，即时，； ∴．
23．（I）因为是定义在[3，3]上的奇函数，[3，0]时，
，
所以，解得，所以（3，0]时，
当时，，所以，
又，即在上的解析式为，
（Ⅱ）因为时，，
所以可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得，所以也是减函数．
所以，所以，故实数的取值范围是[7，）．
24．解：（I）集合不是“好集”．理由是：假设集合是“好集”．
因为，所以．这与矛盾．
有理数集是“好集”．因为，对任意的，有，且时，．
所以有理数集是“好集”．
（Ⅱ）因为集合是“好集”，
所以．若，则，即．所以，即．
（Ⅲ）命题均为真命题．理由如下：
对任意一个“好集”，任取，
若中有0或1时，显然．
下设均不为0，1．由定义可知：．
所以，即．所以．
由（Ⅱ）可得：，即．同理可得．
若或，则显然．
若且，则．
所以．所以．
由（Ⅱ）可得：．
所以．
综上可知，，即命题为真命题．
若，且，则．
所以，即命题为真命题．