北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解.
【详解】因，解得，即，
且，所以．
故选：C．
2. 曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，根据导数几何意义可得解.
【详解】由已知，则，
当时，，
即切线斜率，
故选：A.
3. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ）
A 5B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.
【详解】由题意知，，，所以
所以，
故选：D.
4. 已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.
【详解】依题意得，
所以，
即，又，
所以.
故选：C.
5. 若，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.
【详解】，
因为在R上为减函数，所以，
因为在上为增函数，所以，所以，
所以，
故选：D.
6. 在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，
所以，
故选：A．
7. 在长方体的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面平行的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】八个顶点任两点连线共有条，其中直线与平面平行的有BD，，DC1共有3条，
所以该直线与平面平行的概率为.
故选：C.
8. 已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】等价于或，等价于或，然后可判断出答案.
【详解】由可得，所以可得或，即或
等价于或
所以“”是“”的充分不必要条件
故选;：A
9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
10. 核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：，）
A. 36.9%B. 41.5%C. 58.5%D. 63.4%
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，代入解方程即可.
【详解】由题意可知，，即，
所以，解得.
故选：C
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得，
故定义域为.
故答案为：
12. 已知等差数列的前n项和为，则______.
【答案】81
【解析】
【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.
【详解】根据题意，知道，则，则，
若公差为，所以，则.
故
则.
故答案为：81
13. 在中，角、、的对边分别为、、，，，则的面积是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】由余弦定理可得，，
，可得，则，解得，
因此，的面积是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
14. 已知函数的值域是R，则实数的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可得在上的最小值小于或等于，判断其单调性列出不等式得出的范围．
【详解】当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为．
故答案为：．
15. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面面积等于；
②截面是一个五边形；
③直线PC与截面所在平面EFH无公共点．
其中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】②③
【解析】
【分析】根据给定条件，作出平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.
【详解】在四棱锥中，PA=AB=4，取CD中点，连接FG，GH，BD，AC，如图，
因底面ABCD为正方形，分别是棱的中点，则，，是平行四边形，
令，有，在PA上取点I，使，连接，则，
点平面EFH，有平面EFH，点平面EFH，平面EFH，
因此五边形是平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，②正确；
因平面，平面，而，则平面，直线PC与截面所在平面无公共点，③正确；
PA⊥底面ABCD，平面，有，而，，则，
又，平面，因此平面，平面，
于是得，有，而，，
矩形面积等于，，而，则边EH上的高等于，
，所以截面五边形面积为，①不正确.
故答案为：②③
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，
或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
三、解答题（共6题，共85分）
16. 已知函数，
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值
【答案】（1）最小正周期，单调递减区间，；
（2）最大值，最小值-1．
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；
（2）先根据，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.
【小问1详解】
,
∴最小正周期，由，得单调递减区间为，；
【小问2详解】
由得，故当时，的最大值为；当时，的最小值为-1.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①，②，③，，.
（1）求角C；
（2）若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C；由数量积公式结合余弦定理得出角C；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出周长的取值范围.
【小问1详解】
选①
由正弦定理及，，
又，
，，又，.
选②
由，，
即，.
，，，
选③
，...
化简得，.
又，.
【小问2详解】
由余弦定理得，
又，当且仅当时等号成立.
，，当且仅当时等号成立.
.又，.
周长的取值范围为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；的长为或
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；
（3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；
【小问2详解】
如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．
19. 某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.
（1）求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；
（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；
（2）6名男队员中有A，B中学各3人，所以选3人来自A中学的人数X可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；
（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为.
【小问2详解】
根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3.
则，
，
所以X的分布列为：
因此，X的数学期望.
【小问3详解】
3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为，
3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为，
所以，
即，
代入检验，可知最小为74，最大，故，
即的取值范围.
20. 已知函数（且）.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调性与单调区间；
（Ⅲ）若有两个极值点、，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（Ⅱ）求得，由，分和两种情况讨论，分析的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（Ⅲ）由题意可知，方程有两正根、，利用韦达定理得出，且，将所证不等式转化为，构造函数，利用导数证明出当时，即可.
【详解】由题可知：函数的定义域为0,+∞
（Ⅰ）因为时，，所以，
那么，，
所以曲线在处的切线方程为：，
即；
（Ⅱ）因为，由可得：
①当，，时，有，，满足，
和时，
即函数在和上为减函数；
时，，即函数在上为增函数；
②当时，，恒成立，所以函数在0,+∞为减函数.
综上可知：
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在(0,+∞)上为减函数；
（Ⅲ）因为有两个极值点、，
则有两个正根、，则有，且，，即，
所以
若要，即要，
构造函数，则，易知在上为增函数，
且，，
所以存在使即，
且当时，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以函数在上有最小值为，
又因为则，所以在上恒成立，
即成立.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21. 设为正整数，集合对于，设集合.
（1）若，写出集合；
（2）若，且满足令 ，求证： ；
（3）若，且 ，求证： .
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，即可直接写出；
（2）由可得，结合可得，即可证明；
（3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
当时，，
所以，即，，
又因为，所以，
所以，
所以；
【小问3详解】
对任意，令，
若且，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以
对，因为，
由（2）可知，令，则.
若，因为，
所以，即，
又因为，所以.
若，则，
所以.
综上，即.
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..
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