北京市陈经纶中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．
1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
2. 椭圆焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则
A. 3B. 5C. 7D. 9
3. 以，为直径两端点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 直线与圆相切，则的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
5. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 如图，已知斜三棱柱中，，，点是与的交点，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A. B. C. D.
9. 在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（ ）
①当时，曲线是轴对称图形
②当时，曲线关于中心对称
③当时，曲线所围成的面积小于
④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 抛物线的准线方程是________.
12. 已知空间向量，，共面，则实数______
13. 已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为______；实数的最大值为______．
14. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为_______．
15. 圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），，则该双曲线的标准方程为______．
16. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），给出下列结论：
①存在点，使得；
②不存在点，使得异面直线与所成角为；
③点到平面的距离有最小值无最大值；
④当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大．
其中正确结论序号是______．

三、解答题共5小题，共70分．
17. 如图，在几何体中，底面是边长为正方形，平面，，且．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知曲线的方程为，直线．
（1）写出短轴长和离心率；
（2）当时，求被截得的弦长；
（3）已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值．
19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，分别是的中点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个合适的条件作为已知，解决下列问题：

（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
条件①：；条件②：平面．
20. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
21. 已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集.
（1）判断是否是的4元基子集，说明理由；
（2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由；
（3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值.