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北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（Word版附答案）
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这是一份北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了 已知集合，，则集合， 函数的定义域是， 命题“，”的否定是， 函数的图像关于， 已知，则“”是“”的， 函数在区间内的零点个数是， 下列函数中，满足的是等内容，欢迎下载使用。
试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分150分，考试时间120分钟
卷（I）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，，则集合
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如果，那么下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
5. 下列函数中，在区间上为减函数的是
A． B. C. D.
6. 函数的图像关于
A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．点对称
7. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 函数在区间内的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 下列函数中，满足的是
A． B． C． D．
10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是
A．是一次函数，是二次函数 B．在上递增，在上递减
C．，都是奇函数 D．是奇函数，是偶函数
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．若，则实数x的值为 .
12. 不等式的解集为，则 ， .
13. 函数 QUOTE ?(?) 是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .
15. 已知函数.
①当时，在定义域内单调递减；
②当时，一定有；
③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；
④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；
以上结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共3小题，共35分
16. （12分）设集合，，.
（I）求；（II）求；（III）若，求实数k的取值范围.
17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：
（I）求的值；
（II）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工. 请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：
①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？
②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？
18. （12分）已知函数.
（I）判断在上的单调性，并用定义证明；
（II）若是偶函数，求的值.
卷（Ⅱ）
选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
1. 已知集合，，，则
A． B．C．D．
2. 当时，恒成立，则的最大值为
A．6 B．10 C．12 D．13
3. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为
A．14 B．15 C．16 D．18
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
4. ________.
5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .
6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a的取值范围是________.
三、解答题：本大题共2小题，共20分
7. （10分）已知函数.
（I）求方程组的解集；
（II）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；
（III）若在上具有单调性，求实数a的取值范围.
8. （10分）如果正整数集的子集满足：
①；
②，，使得，
则称为集.
（I）分别判断与是否为集（直接写出结论）；
（II）当时，对于集，设，求证：；
（III）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.
参考答案
I卷
一、单项选择题（每题4分，共40分）
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 1或5 12. 4，3 13. 2
14. ， 15. ②③
注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.
三、解答题（共35分）
16. 由题意，，，
(I) ；
(II) ；
(III) 显然，
，解得，
因此的取值范围是.
17. (I) ，解得
(II) ①是. .
②时，，解得；
时，，解得；
,
所以可以连续施工的最长时间为12小时.
18. (I)在上单调递减.
定义域为，
任取且，
所以在上单调递减.
(II)，
是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，
此时，定义域，
，符合题意，
所以.
II卷
一、单项选择题（每题5分，共15分）
1. A 2. C 3. C
二、填空题（每题5分，共15分）
4. 5. 6. ，
注：6题第一空3分，第二空2分.
三、解答题（共20分）
7. ，
(I) ，
当，，，
解得或；
当， ，即，
解得或（舍）；
综上，方程组的解集是.
(II)（作图过程略）
(III) 在递增，在递减，
所以或或，
因此实数a的取值范围是.
8. (I) 注意到：，因此数集不是集.
注意到：，因此数集是集.
(II) 由于集合是集，
即对任意的，存在，使得成立。
并且，故.从而.
于是，对任意的均成立。
因此，将这些不等式同向累加，有：
.
故.
从而.
于是.
(III) 数集中所有元素的和的最小值为.
首先，注意到，根据集的定义，有.
考虑集合，，此时是集.
下面，我们证明数集中所有元素的和的最小值为.
满足的集合只有有限多个，
这是因为：，因此.
故，当时，.
因此满足的集合只有有限多个。
设集合为满足的集。
下面我们从最大和次大的元素两个角度分析集合的构成：.
若，设，注意到，
为了使得最小，不存在元素，使得.
从而.
若，由于集合是集，，存在，使得.
由于，故，由于集合中至少有个元素，
因此集合中至少还有个异于的元素，但此时，
.矛盾！
因此一定成立，此时.同理可证：.
由于集合是集，故存在，使.不妨设，则.分四类：
①当时，此时集合中至少还要有一个大于等于的元素，才能得到元素，此时，矛盾！
②当时，此时集合中至少还要有一个大于的元素，才能得到元素，此时，矛盾！
③当时，此时集合满足要求；
④当时，此时集合满足要求。
综上所述，最小值为.此时或.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
A
B
D
B
试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分150分，考试时间120分钟
卷（I）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，，则集合
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如果，那么下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
5. 下列函数中，在区间上为减函数的是
A． B. C. D.
6. 函数的图像关于
A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．点对称
7. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 函数在区间内的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 下列函数中，满足的是
A． B． C． D．
10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是
A．是一次函数，是二次函数 B．在上递增，在上递减
C．，都是奇函数 D．是奇函数，是偶函数
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．若，则实数x的值为 .
12. 不等式的解集为，则 ， .
13. 函数 QUOTE ?(?) 是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .
15. 已知函数.
①当时，在定义域内单调递减；
②当时，一定有；
③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；
④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；
以上结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共3小题，共35分
16. （12分）设集合，，.
（I）求；（II）求；（III）若，求实数k的取值范围.
17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：
（I）求的值；
（II）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工. 请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：
①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？
②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？
18. （12分）已知函数.
（I）判断在上的单调性，并用定义证明；
（II）若是偶函数，求的值.
卷（Ⅱ）
选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
1. 已知集合，，，则
A． B．C．D．
2. 当时，恒成立，则的最大值为
A．6 B．10 C．12 D．13
3. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为
A．14 B．15 C．16 D．18
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
4. ________.
5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .
6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a的取值范围是________.
三、解答题：本大题共2小题，共20分
7. （10分）已知函数.
（I）求方程组的解集；
（II）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；
（III）若在上具有单调性，求实数a的取值范围.
8. （10分）如果正整数集的子集满足：
①；
②，，使得，
则称为集.
（I）分别判断与是否为集（直接写出结论）；
（II）当时，对于集，设，求证：；
（III）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.
参考答案
I卷
一、单项选择题（每题4分，共40分）
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 1或5 12. 4，3 13. 2
14. ， 15. ②③
注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.
三、解答题（共35分）
16. 由题意，，，
(I) ；
(II) ；
(III) 显然，
，解得，
因此的取值范围是.
17. (I) ，解得
(II) ①是. .
②时，，解得；
时，，解得；
,
所以可以连续施工的最长时间为12小时.
18. (I)在上单调递减.
定义域为，
任取且，
所以在上单调递减.
(II)，
是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，
此时，定义域，
，符合题意，
所以.
II卷
一、单项选择题（每题5分，共15分）
1. A 2. C 3. C
二、填空题（每题5分，共15分）
4. 5. 6. ，
注：6题第一空3分，第二空2分.
三、解答题（共20分）
7. ，
(I) ，
当，，，
解得或；
当， ，即，
解得或（舍）；
综上，方程组的解集是.
(II)（作图过程略）
(III) 在递增，在递减，
所以或或，
因此实数a的取值范围是.
8. (I) 注意到：，因此数集不是集.
注意到：，因此数集是集.
(II) 由于集合是集，
即对任意的，存在，使得成立。
并且，故.从而.
于是，对任意的均成立。
因此，将这些不等式同向累加，有：
.
故.
从而.
于是.
(III) 数集中所有元素的和的最小值为.
首先，注意到，根据集的定义，有.
考虑集合，，此时是集.
下面，我们证明数集中所有元素的和的最小值为.
满足的集合只有有限多个，
这是因为：，因此.
故，当时，.
因此满足的集合只有有限多个。
设集合为满足的集。
下面我们从最大和次大的元素两个角度分析集合的构成：.
若，设，注意到，
为了使得最小，不存在元素，使得.
从而.
若，由于集合是集，，存在，使得.
由于，故，由于集合中至少有个元素，
因此集合中至少还有个异于的元素，但此时，
.矛盾！
因此一定成立，此时.同理可证：.
由于集合是集，故存在，使.不妨设，则.分四类：
①当时，此时集合中至少还要有一个大于等于的元素，才能得到元素，此时，矛盾！
②当时，此时集合中至少还要有一个大于的元素，才能得到元素，此时，矛盾！
③当时，此时集合满足要求；
④当时，此时集合满足要求。
综上所述，最小值为.此时或.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
A
B
D
B
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