北京市第一零一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（本试卷满分120分，考试时间100分钟）
命题：高二数学备课组 审稿：贺丽珍
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 点到直线的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 椭圆的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
3. 如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
4. 在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与.所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
5. 若直线：与直线：平行，则（ ）
A. 3B.
C. 3或D. 3或1
6. 在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于直线：，下列说法不正确的是（ ）
A. 恒过定点2,0B. 当时，不经过第二象限
C. 的斜率一定存在D. 当时，的倾斜角为60°
8. 若直线经过点，则（ ）
A B.
C. D.
9. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于12，化简得曲线：，下列结论不正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称B. 的最大值为3
C. 最小值为D. 的最大值为4
10. 如图，棱长为2的正方体中，点为的中点.动点满足，，.给出下列四个结论：
①平面平面；
②设直线与平面所成角为，则的取值范围是；
③设平面，则三棱锥的体积为；
④以边所在直线为旋转轴，将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______.
12. 已知圆的面积为，则__________．
13. 过点的直线与圆：交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是______.
14. 已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为，则的值是______.
15. 如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为______，的中点的轨迹长度为______.

16. 已知直线：与：相交于，两点，为弦的中点.给出下列三个结论：
①弦长度的最小值为；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则不存在点使得；
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点.
（1）求圆的方程；
（2）若与圆相切，求的方程；
（3）若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值.
19. 羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于.
（1）求证：平面；
（2）已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
条件①：平面平面；
条件②：
20. 已知集合（，），若与满足，且（），则称集合可分，称为的一个分法.
（1）已知是一个分法，试写出，，，，，的值；
（2）若集合可分，证明：集合的分法一定有偶数个；
（3）判断，是否可分.若可分，写出共有几种分法，并推出所有的分法；若不可分，说明理由.