2024-2025学年苏教版选择性必修第一册 第2章　圆与方程 综合拔高练 作业

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综合拔高练五年高考练考点1　求圆的方程1.(2022全国甲文,14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　. 2.(2022全国乙文,15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　. 考点2　直线与圆的位置关系3.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)A.1+322　　　　B.4C.1+32　　　　D.74.(多选题)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切5.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　. 6.(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　. 考点3　圆的切线与弦长问题7.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)A.1　　　　B.154C.104　　　　D.648.(2021北京,9)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=(　　)A.±1　　　　B.±2C.±3　　　　D.±29.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值　　　　. 10.(2022天津,12)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m的值为　　　　. 三年模拟练应用实践1.(2023江苏徐州期中)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=2和两点A(m,0),B(0,m),若圆C上存在点P,使得PA·PB=0,则实数m的取值范围为(　　)A.[3-2,3+2]　　　　B.[22,42]C.[-4,-2]　　　　D.[2,4]2.(2024黑龙江大庆实验中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点P在正方形ABCD内(包括边界),满足PB=2PA,则直线PC1和平面ABCD所成角的正切值的最大值是(　　)A.31313　　　　B.22　　　　C.1　　　　D.323.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中,△ABC满足AB=AC=5,且B(-1,3),C(4,-2),若△ABC的欧拉线与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是(　　)A.圆M上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值为22B.圆M上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值为42C.若点P在圆M上,则当∠PBA最小时,PB=23D.若点P在圆M上,则当∠PBA最大时,PB=294.(多选题)(2024福建莆田第五中学期中)已知圆O:x2+y2=4,过圆外一点M作圆O的两条切线,切点分别为A,B,且直线AB恒过定点(1,-1),则(　　)A.点M的轨迹方程为x-y+4=0B.AB的最小值为23C.圆O上的点到直线AB的距离的最大值为2+2D.∠AMB≤90°5.(2024安徽黄山模拟)如图所示的是世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧E,且弧E所对的圆周角为2π5.设圆C的圆心在点O与弧E中点的连线所在直线上,且弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线,这四条切线与圆C也相切,则弧E上的点与圆C上的点之间的最短距离的取值范围为注:cos2π5=5-14(　　)A.(0,5-1]　　　　B.(0,5]C.(0,5-1)　　　　D.(0,5)6.(多选题)(2023河北石家庄期末)平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|(x,y不同时为0)是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论,其中正确的有(　　)A.曲线C围成的图形的面积是2+πB.曲线C围成的图形的周长是22πC.曲线C上的任意两点间的距离不超过2D.若E(x0,y0)是曲线C上的任意一点,则|3x0+4y0-12|的最小值是17-5227.(2024江苏常州联盟学校调研)已知曲线C:y-2=4-(x-2)2,直线l:x-y+a=0,曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1,则a的取值范围是　　　　. 8.(2023湖北部分重点学校期中)一束光线从点A(-4,0)处出发,经直线x+y-1=0上的点P反射到圆C:x2+(y+2)2=2上的点B,当光线经过的路径最短时,反射光线所在直线的方程为　　　　　,最短路径的长度为　　　　. 9.(2023湖南长沙实验中学模拟)已知平面上两定点A、B,则所有满足PAPB=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上,半径为λ1-λ2·AB的圆.这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的,故称为阿氏圆.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹长度为　　　　. 10.(2023江苏常州十校联考)已知圆C经过A(0,1),B(4,a)(a>0)两点.(1)当a=1时,圆C与x轴相切,求此时圆C的方程;(2)如果AB是圆C的直径,证明:无论a取何正实数,圆C经过除A外的另一个定点,并求出这个定点坐标;(3)已知点A关于直线y=x-3的对称点A'也在圆C上,且过点B的直线l分别与x轴,y轴交于点M和N,当圆C的面积最小时,试求BM·BN的最小值.迁移创新11.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示.两过道的宽度均为3 m,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽为1 m,长为7 m,试问:该设备能否水平移进直角型过道?答案与分层梯度式解析综合拔高练五年高考练1.答案　(x-1)2+(y+1)2=5解析　解法一:由点M在直线2x+y-1=0上,可设M(a,1-2a),因为点(3,0)和点(0,1)均在☉M上,所以(a-3)2+(1-2a-0)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,解得a=1,则☉M的圆心为M(1,-1),半径为(1-0)2+(-1-1)2=5,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.解法二:设A(3,0),B(0,1),由题可知点M是线段AB的垂直平分线与直线2x+y-1=0的交点.易知AB的方程为x3+y1=1,即x+3y-3=0,故线段AB的垂直平分线的斜率为3,又AB的中点坐标为32,12,所以AB的垂直平分线的方程为y=3x-4,与2x+y-1=0联立,得M(1,-1),又半径R=(3-1)2+(0+1)2=5,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.2.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-432+y-732=659或x-852+(y-1)2=16925(写出一个即可)解析　解法一:依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),则F=0,16+4D+F=0,1+1-D+E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-6,此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.若圆过(0,0),(4,0),(4,2),则F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-2,此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),则F=0,16+4+4D+2E+F=0,1+1-D+E+F=0,解得F=0,D=-83,E=-143,此时圆的方程为x2+y2-83x-143y=0,即x-432+y-732=659.若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),则1+1-D+E+F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=-165,D=-165,E=-2,此时圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0,即x-852+(y-1)2=16925.解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立x=2,y=x+1,解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r=4+9=13.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,x-432+y-732=659,x-852+(y-1)2=16925.3.C　解法一:将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以|2-1-t|2≤3,即|t-1|≤32,解得1-32≤t≤1+32.所以x-y的最大值为1+32.故选C.解法二:将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π),则x-y=3cos θ-3sin θ+1=32cosθ+π4+1,因为θ∈[0,2π),所以θ+π4∈π4,9π4,则当θ+π4=2π,即θ=7π4时,x-y取得最大值,为32+1.教材溯源　高考注重对基础方法的考查,解析法是连接几何与代数的基本方法,可以将有限制条件的二元二次方程、二元一次方程与圆、直线建立联系,也可以将二元一次方程中的参数与截距、斜率等建立联系,对比教材中的练习题可以发现,本题可以转化为直线与圆位置关系的问题,最大值是直线与圆相切时直线的横截距;也可以通过设出圆的参数方程,利用三角函数知识求解,在教材中圆的方程课后题中也有相关证明.4.ABD　圆心C(0,0)到直线l:ax+by-r2=0的距离d=r2a2+b2.若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=r2a2+b20,∴切线l3的方程为y=-34x+54,即3x+4y-5=0,∴与两圆都相切的直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.小题速解　本题是填空题,要求写出一条切线方程,只要把两圆在坐标系中画出来就能观察出直线x=-1满足,所以标准画图也很关键,要做到草图不草.7.B　解法一:由x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心为(2,0),半径r=5,设C(2,0),P(0,-2),切点分别为A,B,则PC=22+22=22,则PA=PC2-r2=3,可得sin∠APC=522=104,cos∠APC=322=64,则sin α=sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×104×64=154.解法二:由解法一知PC=22,PA=3,易得PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=CA2+CB2-2CA·CBcos∠ACB,又∠ACB=π-∠APB,所以3+3-6cos∠APB=5+5-10·cos(π-∠APB),解得cos∠APB=-14,所以sin α=sin∠APB=1-cos2∠APB=154.解法三:圆x2+y2-4x-1=0的圆心为(2,0),半径r=5,设C(2,0),易知切线斜率存在,设其方程为y=kx-2,即kx-y-2=0,则|2k-2|k2+1=5,整理得k2+8k+1=0,则Δ=64-4=60>0.设两切线斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-8,k1k2=1,可得|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=215,所以|tan α|=k1-k21+k1k2=15,即sinαcosα=15,结合sin2α+cos2α=1,sin α>0,可得sin α=154.故选B.8.C　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线y=kx+m的距离d=|m|k2+1,弦长为24-m2k2+1,则当k=0时,弦长取得最小值,所以24-m2=2,解得m=±3.故选C.9.答案　2,-2,12,-12(填写四个中任意一个均对)解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r=2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=21+m2,则AB=2r2-d2=4|m|1+m2,所以S△ABC=12·d·AB=4|m|1+m2=85,解得m=2或-2或12或-12.(填写四个中任意一个均对)10.答案　2解析　圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为m2,则m22+m22=3,解得m=2(负值舍去).三年模拟练1.D　由已知得圆C的圆心为C(3,3),半径为2,设P(a,b),因为PA·PB=0,所以PA·PB=-a(m-a)-b(m-b)=0,即a2+b2=m(a+b)①,又点P(a,b)在圆C上,所以(a-3)2+(b-3)2=2②,若m=6,则a2+b2=6(a+b),即(a-3)2+(b-3)2=18,不合题意,所以m≠6,由①②可得a+b=166-m,令a+b=z,由圆C和直线a+b=z总有公共点,可得|3+3-z|2≤2,解得4≤z≤8,即4≤166-m≤8,解得2≤m≤4.故选D.2.C　如图1,连接PC,则C1在底面ABCD内的投影为C,故直线PC1和平面ABCD所成的角为∠C1PC,且tan∠C1PC=CC1PC=3PC,要使其最大,只需PC的值最小.在底面ABCD内,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(3,3),设P(x,y),因为PB=2PA,所以(x-3)2+y2=2x2+y2,化简得(x+1)2+y2=4,即P在以(-1,0)为圆心,2为半径的圆被正方形ABCD所截得的一段弧ST上,设H(-1,0),如图2,则PC的最小值为点C与圆心H之间的距离减去半径,即(PC)min=CH-2=5-2=3,故(tan∠C1PC)max=33=1.故选C.图1　图23.C　由题意可得△ABC的欧拉线为BC的中垂线,易得BC的中点为32,12,且kBC=3+2-1-4=-1,∴线段BC的中垂线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0,∴△ABC的欧拉线方程为x-y-1=0,设为l.∵直线l与圆M相切,∴圆心M(3,0)到直线l的距离d=r=|3-1|2=2,∴圆M的方程为(x-3)2+y2=2,则圆心M到直线x-y+1=0的距离为|3-0+1|1+1=22,∴圆M上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值为22-2=2,最大值为22+2=32,故A、B错误.由AB=AC=5,可得A在直线l:x-y-1=0上,设A(x,y),则AB2=(x+1)2+(y-3)2=25,由x-y-1=0,(x+1)2+(y-3)2=25,可得x=4,y=3或x=-1,y=-2,即A(4,3)或A(-1,-2),则AM=10或AM=25,又r=2,所以点A在圆M:(x-3)2+y2=2外,当点P在圆M上时,无论∠PBA最大还是最小,直线PB均与圆M相切,又BM=42+(-3)2=5,所以PB=25-2=23,故C正确,D错误.故选C.4.CD　设M(x0,y0),易得直线AB的方程为x0x+y0y=4,因为直线AB恒过定点(1,-1),所以x0-y0=4,所以M的轨迹方程为x-y-4=0,A错误.设D(1,-1),易知当OD⊥AB时,AB的值最小,又OD=1+1=2,所以(AB)min=24-2=22,B错误.因为直线AB恒过定点D(1,-1),所以圆O上的点到直线AB的距离的最大值为OD+2=2+2,C正确.易得圆心O到直线x-y-4=0的距离为22,记l:x-y-4=0,如图,当M运动到OM⊥l时,sin∠AMO=222=22,∠AMO=45°,则∠AMB=90°;当M位于直线l其他位置时,OM>22,sin∠AMO=2OM0,b>0)的最小值.设AB=r,a=rsin θ,b=rcos θr>0,θ∈0,π2,代入②式得r=3(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ.③设t=sin θ+cos θ,因为θ∈0,π2,所以t∈(1,2].则③式可化为r=6t-2t2-1=4t+1+2t-1≥62-2,当且仅当t=2,即θ=π4时,等号成立.这说明,能水平移过的宽为1 m的矩形的长至多为(62-2)m.又62-2