深圳2024年八年级上册数学（北师大版） 重难点突破 勾股定理的基本应用

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专题01 勾股定理的基本应用题型一 求线段长1．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　）A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2【解答】解：∵BC＝＝5，∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝，∴△ABC中BC边上的高＝＝，故选：B．2．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：由题意，①﹣②得2xy＝45 ③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴①②③正确，④错误．故选：B．3．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长　2　．【解答】解：设BD＝x，则AD＝5﹣x，在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2，∴AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即62﹣（5﹣x）2＝42﹣x2，解得，x＝，则BD＝，∴DE＝BE﹣BD＝2，贵答案为：2．4．直角三角形两直角边的和为17，斜边长为13，则这个直角三角形的面积为　30　，斜边上的高为　　．【解答】解：设两直角边为a、b（a＞b），由题意知a+b＝17①，∵斜边长为13，∴a2+b2＝132②，联立①、②解得：a＝12、b＝5，所以这个直角三角形的面积为S＝ab＝30．斜边上的高为：．故答案为：30、．5．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）A． B． C． D．【解答】解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．6．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　）A．2 B． C． D．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵AB＝BD，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，∵D是AC的三等分点（AD＞CD），∴AE＝DE＝DC，在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°，∴∠EBC＝∠C＝45°，∴BE＝CE，由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8，解得：BE＝EC＝2，∴AE＝1，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：B．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（　　）A．4 B． C．3 D．10【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝．故选：B．8．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　68或54　．【解答】解：①如果角B是锐角，此时高AD在三角形的内部，在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝，∴BC＝7+10＝17，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝68；②如果角B是钝角，在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝，∴BC＝10﹣7＝3，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝54；综上可得△ABC的周长为68或54．故答案为：68或54．9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为　或　．【解答】解：当点D在BC的下方，如图，过D 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则四边形AEDF是矩形，∴∠EDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，BE＝CF，∴∠DAE＝∠DAF＝45°，∴AE＝AF，∴2﹣BE＝+BE，∴BE＝，∴AE＝，∴AD＝AE＝，当点D在BC的上方，如图，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则四边形AEDF是矩形，∴∠EDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，BE＝CF，∴∠DAE＝∠DAF＝45°，∴AE＝AF，∴2﹣BE＝BE﹣，∴BE＝，∴AE＝，∴AD＝AE＝，故答案为：或．10．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC．（1）当AD＝7，CD＝5时，求BC的长；（2）当AD＝，BC＝时，求BD的长．【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，AD＝7，CD＝5，∴AC＝＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝×2＝2；（2）延长DC，过点B作BE⊥DC于点E，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝2，∵∠ACD＝90°，AD＝，AC＝2，∴DC＝＝3，∵AC⊥DC，BE⊥DC，∴AC∥BE，∴∠ACB＝∠CBE＝45°，∴△CBE是等腰直角三角形，∴BE＝EC＝×＝1，则DE＝3+1＝4，BE＝1，故DB＝．12．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为　32m　；（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为　（20+4）m　；（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AD＝10m，AC⊥BD，AC＝8m，∴DC＝＝6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6＝32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA＝BD＝10m时，则DC＝BD﹣BC＝10﹣6＝4（m），故AD＝＝4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD＝10+4+10＝（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA＝DB，∴设DC＝xm，则AD＝（6+x）m，∴DC2+AC2＝AD2，即x2+82＝（6+x）2，解得；x＝，∵AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2（+6）+10＝（m）．题型二 求面积13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　）A．20 B．12 C．2 D．2【解答】解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，则S2＝AC2＝12，故选：B．14．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　）A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【解答】解：标记如下：∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×＝a2﹣2ab+b2．故选：C．15．在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝　5　．【解答】解：如图，∵都是正方形，∴∠CAE＝90°，AC＝AE，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ACB＝∠DAE，在△ABC和△EDA中，，∴△ABC≌△EDA（AAS），∴AB＝DE，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2+AB2＝AC2，所以，BC2+DE2＝AC2，∵S1＝BC2，S2＝DE2，AC2＝2，∴S1+S2＝2，同理可得，S2+S3＝3，∴S1+2S2+S3＝2+3＝5．故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（　　）A．2 B．4 C．6 D．9【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC2+BC2＝AB2，∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，∴△ACH的面积是10﹣8＝2．故选：A．17．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）A．16 B．25 C．144 D．169【解答】解：根据勾股定理得出：AB＝，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　）A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．19．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2【解答】解：第一个正方形的面积是S；第二个正方形的面积是；第三个正方形的面积是；…第n个正方形的面积是，∵正方形⑤的面积是2，∴正方形①的面积32．故选：C．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝4，DA＝2，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（　　）A．4 B．1+2 C．2+4 D．1+【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝8，又∵DC＝4，AD＝2，∴DC2＝16，AD2＝24，在三角形ACD中有：DC2+AC2＝16+8＝24＝AD2，∴三角形ACD是直角三角形，∠DCA＝90°，∴四边形ABCD的面积＝三角形DCA的面积+三角形ABC的面积＝DC×AC+AB×BC＝×4×2+×2×2＝4+2，故选：C．21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2【解答】解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝144，∴（a+b）2﹣2ab＝144，∴196﹣2ab＝144，∴ab＝26，∴S△ABC＝ab＝13cm2．故选：A．22．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；；（S2是△OA2A3的面积）；；（S3是△OA3A4的面积）；…（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　　；（2）推算出OA10＝　　；（3）求出的值．【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn＝；故答案为：；（2）∵；；；……∴OA102＝＝10；∴OA10＝．故答案为：．（3）＝+++＝+++＝2×（﹣+﹣+﹣）＝2×＝2﹣2．题型三 利用勾股定理证明平方关系23．已知长方形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2﹣PB2＝AB2，PD2﹣PC2＝DC2，而AB＝CD，则，请你探究：当点P分别运动到图②、图③中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．答：对图②的探究结论为　PA2+PC2＝PB2+PD2　．对图③的探究结论为　PA2+PC2＝PB2+PD2　．证明：如图②：【解答】解：图②，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，则四边形AMPE，四边形BFPM，四边形FCNP，四边形NDEP都是矩形，根据勾股定理得，PA2＝AE2+PE2，PB2＝BF2+PF2，PC2＝FC2+PF2，PD2＝DE2+PE2，∵AE＝BF，DE＝FC，∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）＝（BF2+PF2）+（DE2+PE2），即PA2+PC2＝PB2+PD2；图③，过点P作PF∥AB交AD于点E，则四边形ABEF，四边形FCDE都是矩形，根据勾股定理得，PA2＝AE2+PE2，PB2＝BF2+PF2，PC2＝FC2+PF2，PD2＝DE2+PE2，∵AE＝BF，DE＝FC，∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）＝（BF2+PF2）+（DE2+PE2），即PA2+PC2＝PB2+PD2．故答案为：PA2+PC2＝PB2+PD2，PA2+PC2＝PB2+PD2．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2﹣AP2＝PB•PC．【解答】解：过A作AF⊥BC于F．P在BF上，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2；在Rt△APF中，AF2＝AP2﹣FP2；则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2；即AB2﹣AP2＝BF2﹣FP2＝（BF+FP）（BF﹣FP）；∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC；∴BF+FP＝CF+FP＝PC，BF﹣FP＝BP；∴AB2﹣AP2＝BP•PC．P在CF上，同理可得AB2﹣AP2＝PB•PC．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP．（1）若P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB•PC；（2）若P为线段BC上的任意一点，猜想AB、AP、PB、PC之间的数量关系，说明理由；（3）若P为BC延长线上的任意一点，试说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，P为BC上的中点，∴AP⊥AB，PB＝PC，在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AB2﹣AP2＝BP2＝PB•PC；（2）解；若P为线段BC上的任意一点，AB、AP、PB、PC之间的数量关系为AB2﹣AP2＝PB•PC，理由如下：①过A作AF⊥BC于F，如图1所示：P在BF上时，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2，在Rt△APF中，AF2＝AP2﹣FP2，则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2，∴AB2﹣AP2＝BF2﹣FP2＝（BF+FP）（BF﹣FP），∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC，∴BF+FP＝CF+FP＝PC，BF﹣FP＝BP，∴AB2﹣AP2＝BP•PC；②P在CF上时，同理可得AB2﹣AP2＝PB•PC；综上所述，若P为线段BC上的任意一点，AB、AP、PB、PC之间的数量关系为AB2﹣AP2＝PB•PC；（3）解：过A作AF⊥BC于F，如图2所示：在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2，在Rt△APF中，由勾股定理得：AF2＝AP2﹣FP2，则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2，