深圳2024年八年级上册数学（北师大版） 重难点突破 一次函数中的动态问题

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专题16 一次函数中的动态问题题型一 一次函数中的折叠问题1．已知直线与、轴分别交于点、，折叠，使点落在轴上点处，则折痕交轴于点，则点的坐标为　　．【解答】解：根据题意可得图形，直线与、轴分别交于点、，，，，沿折叠，是的垂直平分线，，，，设，则，，解得：，．故答案为：．2．直线与轴、轴分别交于点、，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为　或　．【解答】解：如右图所示，设沿直线将折叠，点正好落在轴上的点，，，则有，又，，，故求得点的坐标为：．再设点坐标为，则，，，，此外当为角的外角平分线时，如图1，设， 由折叠知，，，，，根据勾股定理得，，，故答案为：或．3．如图，矩形在平面直角坐标系内为坐标原点），点在轴上，点在轴上，点的坐标为，点是的中点，点在上，且，过点且平行于轴的与交于点，现将矩形折叠，使顶点落在上，并与上的点重合，折痕为，点为折痕与轴的交点．（1）求的度数和点的坐标；（2）求折痕所在直线的函数表达式；（3）若点在直线上，当为等腰三角形时，试问满足条件的点有几个，请求出点的坐标，并写出解答过程．【解答】解：（1）是的中点，．与关于直线对称，，，，．，．，．．．在中，由勾股定理得：故， （2），，设所在直线的函数表达式为，由图象，得，解得：故所在直线的函数表达式为：； （3）点在直线上，当为等腰三角形时，有以下三种情况：（a），可令，则：由两点间的距离公式为：，，，；，（b）时，仍令，注意，，则：，对应点，此时不构成三角形，故舍去．，（c）当仍令，注意，，，则：，，．故满足条件的点有4个．分别是：、、、． 题型二 一次函数中的平移问题4．如图所示，边长分别为1和2的两个正方形靠在一起，其中一边在同一水平线上．大正方形保持不动，小正方形沿该水平线自左向右匀速运动，设运动时间为，大正方形内去掉小正方形重叠部分后的面积为，那么与的大致图象应为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，小正方形的面积为：，大正方形的面积为：，刚开始小正方形从左向右运动，到小正方形正好完全进入大正方形的过程中，随的增大而减小，面积由4减小到3；当小正方形刚好完全进入大正方形到一边刚好要出大正方形的过程中，随的增大不变，一直是，从小正方形刚好出大正方形到完全出大正方形的过程中，随的增大而增大，由3增加到4，故选项、、不符合题意，选项符合题意，故选：．5．如图，边长都为4的正方形和正三角形如图放置，与在一条直线上，点与点重合．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点与重合时停止．在这个运动过程中，正方形和重叠部分的面积与运动时间的函数图象大致是　　A． B． C． D．【解答】解：当时，，即与是二次函数关系，有最小值，开口向上，当时，，即与是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项符合题意，故选：．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点的横坐标为4，直线交轴负半轴于点，且．（1）求点的坐标及直线的函数表达式；（2）现将直线沿轴向上平移5个单位长度，交轴于点，交直线于点，试求的面积．【解答】解：（1）点的横坐标为4，，点的坐标是，，，，点的坐标是，设直线的表达式是，则，解得，直线的函数表达式是； （2）将直线沿轴向上平移5个单位长度得，解得交点的横坐标为6，．7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点的横坐标为3，直线交轴于点，且．（1）试求直线的函数表达式；（2）若将直线沿着轴向左平移3个单位，交轴于点，交直线于点．试求的面积．【解答】解：（1）根据题意，点的横坐标为3，代入直线中，得点的纵坐标为4，即点；即，又．即，且点位于轴上，即得；将、两点坐标代入直线中，得；；解之得，，；即直线的解析式为；（2）根据题意，平移后的直线的直线方程为；即点的坐标为；联立直线的直线方程，解得，，即点，；又点，如图所示：故的面积．8．如图， 已知直线与直线相交于点，直线，分别交轴于点，． 长方形的顶点，分别在和轴上， 顶点，都在轴上， 且点与点重合， 点与点重合， 长方形的面积是 12 ．（1） 求的值；（2） 求证：是等腰直角三角形；（3） 若长方形从原地出发， 沿轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移， 设移动时间为秒， 长方形与重叠部分的面积为．①当时， 求的最大值；②当时， 直接写出与之间的函数关系式 （要 求写出自变量的取值范围） ．【解答】解： （1）直线，，，长方形的面积是 12 ，，，，直线，，； （2） 如图 1 ，记直线与轴的交点为，直线：与轴的交点为，直线与直线，，，，，，，，，是等腰直角三角形； （3）直线与直线相交于点，，①如图 2 ，记长方形的边，与直线的交点为，，由运动知，，，，，，当时，； ②当时， 如图 3 ，过点作轴于，，，同①的方法得，，，，，， 当时，如图 4 ，记长方形的边，与直线的交点为，，由运动知，，，，．即：．9．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点从点出发，沿多边形的边以的路线匀速运动到点时停止（不含点和点，则的面积随着时间变化的图象大致为　　A． B． C． D．【解答】解：当点在线段上时，面积是逐渐增大的，当点在线段上时，面积是定值不变，当点在线段上时，面积是逐渐减小的，当点在线段上时，面积是定值不变，当点在线段上时，面积是逐渐减小的，综上所述，选项符合题意．故选：．10．如图，直线的解析式为，与轴，轴分别交于，；直线与轴交于点与轴交于点，两直线交于点．（1）求点，的坐标及直线的解析式；（2）求证：；（3）若将直线向右平移个单位，与轴，轴分别交于点、，使得以点、、、为顶点的图形是轴对称图形，求的值？【解答】（1）解：当时，，点的坐标为；当时，有，解得：，点的坐标为．设直线的解析式为，将、代入，得：，解得：，直线的解析式为．（2）证明：连接两直线解析式成方程组，得：，解得：，点的坐标为，．，，，，，，，，．在和中，，．（3）解：①当点在点下方时，连接，如图1所示．平移后直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为．以点、、、为顶点的图形是轴对称图形，△，，．，，，，，，解得：；②当点在点上方时，连接，，如图2所示．若△△，则，由①可得：，，，解得：（不合题意，舍去）；若△，则，，即，解得：．综上所述：当以点、、、为顶点的图形是轴对称图形时，的值为10或1．11．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．（1）求点的坐标．（2）求的面积．（3）动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向终点运动，过点作轴，交线段或线段于点，轴于点，设运动时间为（秒，长方形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式．【解答】解：（1）联立直线与直线，得，解得．即；（2）当时，，解得，即；（3）当时，如图，，即，，长方形与重叠部分的面积为，；当时，如图重叠部分是四边形， 综上所述：．12．如图，过，两点的直线与直线交于点，平行于轴的直线从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左平移，到点时停止．直线分别交线段，于点，，以为边向右侧作等边．设与重叠部分图形的周长为，直线的运动时间为（秒．（1）求点坐标；（2）当点落在轴上时，求相应的时间的值；（3）求与之间的关系式．【说明：不考虑直线平移过程中“起点”与“终点”时的情况．】【解答】解：（1）设直线的解析式为则有，解得，直线的解析式为，由解得，点坐标，． （2）如图1中，作于．设，则，，是等边三角形，，点坐标，，当点在轴上时，，，时，点在轴上． （3）如图2中，①当时，重叠部分四边形，．②当时，重叠部分是，．综上所述，．13．如图，已知直线与直线相交于点，、分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线、，顶点、都在轴上，且点与点重合．（1）求点的坐标和的度数；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，解得，，点坐标：；过点作直线垂直轴交轴于，，是等腰直角三角形，； （2）点是直线与轴的交点，当时，，解得，点的坐标为，则点的横坐标为，点在直线上，点的坐标为，由图可知点与点的纵坐标相同，且点在直线上，点的坐标为，由图可知点与点的横坐标相同，且点在轴上，点的坐标为，，； （3）点是与轴的交点，点的坐标为，，若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，当秒时，移动的距离是，则点的坐标为，点的坐标为； ①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么，即时．点的坐标为，点的坐标为，，②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么且，即时．点的坐标为，点的坐标为，，③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交，那么且，即时．点的坐标为，，答：（1）点坐标：，的度数是；（2）矩形的边的长为3，的长为6；（3）关于的函数关系式：．14．已知：如图，已知直线的函数解析式为，与轴交于点，与轴交于点．（1）求、两点的坐标；（2）若点为线段上的一个动点（与、不重合），作轴于点，轴于点，连接，问：①若的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；②是否存在点，使的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令，则，，令，则，，，（2）①连接．点为线段上的一个动点，，，，，；②存在，理由：轴于点，轴于点，，四边形是矩形，，当时，此时最小，，，，，的最小值．15．如图（1），在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点．（1）求直线的解析式．（2）连接，如图（2），动点从点出发，沿折线方向以2个单位秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）．（3）在（2）的条件下，当为何值时，与互为余角，并求此时直线的解析式．【解答】解：（1）过点作轴，垂足为，如图（1）， ，，四边形为菱形，，设直线的解析式为：，，，直线的解析式为． （2）由（1）得点坐标为，，如图（1），当点在边上运动时由题意得，，，，当点在边上运动时，记为，，，，，，，，， （3）设与相交于点，，，，，，，．当点在边上运动时，如图1，，，，，，，直线的解析式为，，，，当点在边上运动时，如图2，，，，，即，，，，直线解析式为，设，，（舍或，，直线的解析式为，，，． 题型三 一次函数中的旋转问题16．如图，在直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点、分别在轴、轴上，且，，将绕原点顺时针转动一周，当与直线平行时点的坐标为　、　．【解答】解：①，，，，，直线的解析式为，，，，，，，点的坐标为，；②图②中的点与图①中的点关于原点对称，点的坐标为：，，故答案为：，、，．17．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，绕点顺时针旋转后得到△，则点的对应点的坐标为　　A． B． C． D．【解答】解：直线与轴，轴分别交于，两点，，，，，绕点顺时针旋转后得到△，，，点的横坐标为：，纵坐标为：故选：．18．在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于、，点、分别在轴、轴上，且，．将绕顺时针转动一周，当与直线垂直时，点坐标为　或　．【解答】解：当时，，则，当时，，解得，则，，在中，，，在中，，，，，与直线垂直，直线与轴的夹角为，如图1，直线交轴于点，交于，作轴于，轴于，，，，是等边三角形，，，，在中，，，点坐标为；如图2，直线交轴于点，作轴于，同理：，，，，，在△，中，，，点坐标为；综上所述，点坐标为或．故答案为或．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点为轴上一点，连接，线段绕点顺时针旋转至线段，过点作直线轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点．（1）求的长；（2）求直线的解析式；（3）求点的坐标．【解答】解：（1）过作轴，交轴于，交于，，，，，，，，在和中，，，，，，设，则，，，，则，解得，； （2）直线的解析式为：，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，则的坐标是，设直线的解析式是，把，代入得：，，即直线的解析式是； （3）解方程组，得，即的坐标是，．20．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，与一次函数的图象相交于点．（1）求点坐标．（2）若点在直线上，且的面积等于12，请求出点的坐标．（3）小明在探究中发现：若为轴上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，在点的运动过程中，点始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　　．【解答】解：（1）由方程组得，点的坐标为；（2）一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，，，，点在直线上，设，当点在的上方时，，，解得，，此时的坐标为；当点在的下方时，，，解得，，此时的坐标为，故点的坐标为或；（3）设的坐标为，作轴于，轴于，，，，，，，在和△中，，△，，，，，点始终在直线上运动，故答案为．21．平面直角坐标系中，点是一动点，点绕点顺时针旋转到点处，点恰好落在直线上．当线段最短时，点的坐标为　，　．【解答】解：如图，过点作轴的平行线，过作于点，过作于，则，由旋转可得，，，，，，设，，由题可得，，即，，联立解得：，，即，，，当时，最小，此时，．故答案为：，．