深圳2024年八年级上册数学（北师大版） 重难点突破 一次函数中的存在性问题

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专题15 一次函数中的存在性问题目录题型一 等腰三角形存在性问题题型二 等腰直角三角形存在性问题题型三 45°角的存在性问题题型四 直角三角形存在性问题题型五 全等三角形存在性问题 题型一 等腰三角形存在性问题1．如图，一次函数的图象经过点，．以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，．若第二象限内有一点，且的面积与的面积相等．（1）求直线的函数表达式．（2）求的值．（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在．请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线向下平移1个单位后，得到直线，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交于点（1）求出点的坐标；（2）连接，当为以为底边的等腰三角形时，求点和点的坐标；（3）点为的中点，连接、，若点在轴的左侧，为直线上一动点，当与全等时，求点的坐标．3．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，直线交直线于点，点为轴上一动点．（1）求点坐标；（2）当直线平分的面积时，直线与轴交于点，求线段的长；（3）若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，，直线与轴，轴分别交于点，．（1）填空：直线的解析式为 　　；（2）若与的面积相等，求符合条件的点的坐标；（3）当为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上，已知，．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．（1）当点经过点时，求直线的函数解析式；（2）①求的面积关于的函数解析式；②如图2，把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标．（3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与轴轴分别交于、两点在轴上有一点，是上一点．（1）点的坐标：　　；点的坐标 　　；（2）若，求直线的表达式；（3）在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图①，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点坐标为，点在第一象限，，．为射线上一点，过作直线轴交于，交射线于．（1）求点坐标；（2）当为线段中点时，在直线上找点，当为等腰三角形，请直接写出点坐标；（3）如图②，为中点，当时，求点坐标． 题型二 等腰直角三角形存在性问题8．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且的面积为4，函数值随自变量的值增大而减小．（1）求直线的表达式，并画出函数图象；（2）以线段为底边在第一象限作等腰直角三角形，求点的坐标．9．如图，已知长方形的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，直线分别边、轴交于、两点．连接，与直线交于点．（1）求所在的直线的解析式；（2）在直线上找一点，使的面积等于的面积，请求出点的坐标；（3）已知点在第一象限，且是直线上的点，点是边上一点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 10．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，，点，，则线段的中点坐标可以表示为，，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．（1）求点的坐标．（2）点在轴上，且，求直线的表达式．（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，交轴于点；（1）求直线的关系式；（2）求的面积；（3）作等腰直角三角形，使，求出点的坐标．12．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，，直线经过点，与轴、轴和线段分别交于点、、三点．（1）求直线的解析式；（2）如图①：若，求点的坐标和的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 45°角的存在性问题13．（1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、，求证是等腰直角三角形．（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线交轴于点，且，则点的坐标为　　．14．如图1，直线的解析式为，点坐标为，点关于直线的对称点点在直线上．（1）求直线、的解析式．（2）如图2，若交于点，在线段上是否存在一点，使与的面积相等，若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，过点的直线，当它与直线夹角等于时，求出相应的值． 15．已知一次函数．（1）该函数图象一定经过定点，求点坐标；（2）该函数经过点，①若点为轴上一点，，求点坐标；②若点为该函数上一点，且，求点坐标；16．在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，，且满足．（1）求，的值；（2）点在直线的右侧，且．①若点在轴上（图，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标．17．【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求，两点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，它交轴于点，交轴于点，在轴上是否存在点，使直线与直线的夹角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【模型拓展】（3）如图4，在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，请直接写出的长．题型四 直角三角形存在性问题18．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．（1）求和的值；（2）函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒．①当的面积为12时，求的值；②在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．19．如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．（1）求线段的长；（2）点是坐标轴上的一个点，若以为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点的坐标；（3）如图2，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴与点，射线交轴的负半轴与点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要求写解题过程）．20．如图，在中，以为原点构建直角坐标系，点在轴上，与轴交于点，已知，．（1）求直线的解析式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，直线交轴于点，直线交轴于点，两直线交于点，根据图中的信息解答下列问题：（1）不等式的解集是　　，不等式组的解集是　　；（2）求点的坐标；（3）若过点的直线与轴交于点，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，求直线的解析式．22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点动点沿路线运动．（1）求直线的解析式；（2）当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标；（3）是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点，，与函数的图象交于点．（1）求和的值；（2）函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点（到停止运动）．设点的运动时间为秒．①当的面积为12时，求的值；②在点运动过程中，是否存在的值，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．24．已知，如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，，，过原点作的平分线交于点，连接，过点作，交于点．（1）求经过点、的直线解析式；（2）将绕点按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点，另一边与线段交于点，使得，请求出此时的长度．（3）对于（2）中的点，在直线上是否存在点，使得点与点、构成的是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 全等三角形存在性问题25．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，线段的中点为．将沿直线折叠，使点与点重合，直线与轴交于点．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点的坐标；（3）在坐标平面内存在点（除点外），使得以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的坐标．26．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和，再将沿直线对折，使点与点重合、直线与轴交于点，与交于点．（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　；（2）求的长度；（3）在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图①，已知直线与轴、轴分别交于点、，以、为边在第一象限内作长方形．（1）求点、的坐标；（2）将对折，使得点与点重合，折痕交于点，求直线的解析式（图②；（3）在坐标平面内，是否存在点（除点外），使得与全等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．28．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为．（1）求直线的表达式；（2）若点的坐标为，且，求的值；（3）若点的坐标为，在射线上有两点，，使得以，，为顶点的三角形与全等，求点的坐标．