浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由，根据复数模的几何含义，即可求模.
【详解】．
故选：A．
2. 若直线与直线平行，则的值是（ ）
A. 1或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，所以实数的值为.
故选：C.
3. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，根据线面平行的判定定理判断；B选项，根据面面平行的判定定理判断；C选项，根据线面垂直的性质定理判断；D选项，根据面面垂直的性质判断.
【详解】A选项，当时，不满足，故A错；
B选项，当时，只要且，，就满足，，所以α//β不一定成立，故B错；
C选项，，，则，故C正确；
D选项，，时，与有可能相交，故D错.
故选：C.
4. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程.
【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，
设所求椭圆方程为，
依题意有，所以，所求椭圆方程为.
故选：B
5. 现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，编号组合共有种，
两个球号码之和大于7的可能有，共6种可能，
故所求为.
故选：A.
6. 已知空间中的点，则到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，再用勾股定理计算．
【详解】，，
，又，
所以到直线AB的距离等于，
故选：B．
7. 的面积为，且，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形（非等边）B. 直角三角形
C. 正三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，则是直角三角形，
故选：B.
8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设Ax1,y1，Bx2,y2，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围.
【详解】即，则圆心为，半径，
直线，令，解得，即直线恒过定点1,0，
又，所以点1,0在圆内，
设Ax1,y1，Bx2,y2，，由，
消去整理得，显然，则，
则，
所以，，
则，
则，
又直线的斜率不为，所以不过点1,0，
所以动点轨迹方程为（除点1,0外），
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知随机事件A、B，若，且，则正确的是（ ）
A. B. A、B为互斥事件
C. A、B相互独立D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意首先求得，进一步得，由此即可判断各个选项.
【详解】
，
因为，，
所以，即A、B为互斥事件，故B正确；
而，故AD正确；
对于C，，故C错误.
故选：ABD.
10. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为5
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，是圆上点，
所以的最大值为，A错误.
对于B，如图所示，当直线斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确.
对于C，设，
则，
等号成立当且仅当，所以C正确.
对于D，圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D错误.
故选：BC
11. 定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 若，则
B.
C.
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据数量积的公式和新定义判断即可.
【详解】A选项，，则，即或，所以，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C错；
D选项， 当时，，故D错.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______.
【答案】12
【解析】
【分析】设边上的高为，由射影定理可得，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】
设边上的高为，则，
由题意，
故则的面积为.
故答案为：12.
13. 若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先得动直线所过的定点，进一步由已知列不等式，求解即可.
【详解】动直线即过定点，
若动直线始终与椭圆有公共点，
则，解得，且，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 在四边长均为的菱形ABCD中，沿对角线BD折成二面角为的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】设两三角形外心分别为,球心为，取中点，得，从而可求得，再根据勾股定理即可求得外接球的半径，从而可求表面积.
【详解】如图所示，设两三角形外心分别为,球心为，
则平面，平面，取中点，
则，所以二面角的平面角为，即，
所以，
在中，，所以，
又，所以球的半径为，
故球的表面积为.

故答案为：.
四、解答题：共5题，共77分.
15. 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质列方程，然后解方程得到，，即可得到椭圆方程；
（2）根据直线的斜率得到，然后利用点差法求的斜率即可.
【小问1详解】
由题意得，即①，
因为椭圆过点，所以②，
由①②得，，
所以椭圆得方程为.
【小问2详解】
设Ax1,y1，Bx2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，，
因为直线的方程为，所以，
由题意得，
两式相减得，
整理得，则，，
所以.
16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求边长和角；
（2）若的面积为，求中线AD的长度.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求得和，再由，两边平方求中线长度.
【小问1详解】
，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或0（舍去）．
【小问2详解】
由，得，
由余弦定理可知，，
由（1）可得，所以，
又，
所以
，
即，
所以中线的长度为.
17. 某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率
【答案】（1）0.02
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1列方程，然后解方程即可；
（2）根据中位数的性质列方程，解方程即可；
（3）用样本估计总体，然后利用二项分布的概率公式计算概率.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
因为，，
所以中位数在间，
设中位数为，则，解得，
所以这组数据的中位数为.
【小问3详解】
由题意得这组数据满意度在80分及以上的频率为，
设这三人中恰有一人满意度在80分及以上为事件，
则.
18. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可；
（2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解.
【小问1详解】

如图建系，设
则,
,
设平面法向量为,
,
,
可得
即得，
因为所以,不在平面内，所以平面.
【小问2详解】
设平面法向量为,
,
可得,
即得,
设二面角为，
则,
因为所以
19. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程；
（3）过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程；
（2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可；
（3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可.
【小问1详解】
设Mx,y，则，
整理得，即，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
设Px1,y1，Qx2,y2，则①，②，
因为为线段的中点，所以，即，
将代入②中得③，
联立①③得，则，
所以，
直线的方程为.
【小问3详解】
由题意得点在直线上运动，
设曲线的圆心为，则，
由题意得，，
则，
所以当长度最小时，线段的长度最小，
当垂直直线时，长度最小，
则，
所以.
【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可.