浙江省浙东北联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角关系即可得解.
【详解】直线的方程为，即，
所以直线的斜率，设倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：B.
2. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出即可求出焦距.
【详解】在双曲线中，，，，
所以焦距为．
故选：B．
3. 已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】设，
因为，与圆相切，
所以，，，，
又，
所以四边形为正方形，
所以，则，
即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以动点的轨迹方程为．
故选：A．
4. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果.
【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，
截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，
设抛物线与底面交点为E，则，
设抛物线为，则，解得，
即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
故选：B.
5. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.
【详解】，
，
.
故选：A
6. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则
的最小值为，此时
故选：C．
7. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线与直线无公共点
C. 曲线上的点到直线的最大距离是
D. 曲线与圆有三个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】根据曲线的图象、对称性、点到直线的距离、曲线与圆的交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，点满足
直线对称的对称点是，
将点代入得，
整理得，所以曲线关于直线对称，A选项正确.
B选项，联立，将代入，
得，所以曲线与直线无公共点，B选项正确.
下面分析曲线的图象：
曲线，
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为，不符合.
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为.
由此画出曲线的图象如下图所示，
对于C选项，由于可知，曲线上的点到直线的最大距离是，
即圆弧（）的半径，所以C选项错误.
对于D选项，圆的圆心为，半径是，
与圆弧（）的圆心距为，
所以圆与圆相内切，切点为.
结合图象可知曲线与圆有三个公共点，D选项正确.
故选：C
【点睛】思路点睛：
通过代入验证对称关系：首先将对称点代入曲线方程，从而验证曲线是否关于某条直线对称，这个方法简单直接，有助于准确判断曲线的几何性质.
联立方程判断交点：通过联立曲线和直线的方程，求出它们是否有公共点，从而判断选项是否正确，联立方程是判断交点的标准方法，确保结果的准确性.
8. 已知是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设，与椭圆方程联立方程组，求得切线的方程，进而求得左焦点作直线的垂线方程，联立两直线方程，求得交点的坐标，可求点与原点之间的距离.
【详解】直线的斜率显然存在，所以设直线的方程为，即，
联立方程组，
消去，得，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，
整理得，解得，
所以切线方程为，
由椭圆，可得，所以，
可得左焦点，所以过左焦点与直线的垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以点与原点之间的距离为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：在平面解析几何中，求切线方程，常常是设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，利用求得参数，进而得到直线方程.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量的加减乘除运算，垂直，平行的的性质逐项运算即可.
【详解】A：，所以，A正确；
B：，所以，B错误；
C：，，所以，C正确；
D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误．
故选：AC．
10. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线恒过点B. 直线的斜率一定存在
C. 若，则或D. 存在实数使得
【答案】AD
【解析】
【分析】将点的坐标代入方程，即可判断A，利用特殊值说明B，根据两直线平行的充要条件求出的值，即可判断C，利用特殊值判断D.
【详解】解：将点代入直线中可得等号成立，
所以直线恒过点，故A正确；
当时，直线的斜率不存在，故B错误；
当时，，解得或，
当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误；
当时，，，此时，故D正确．
故选：AD．
11. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ）
A. B. 的最小值为
C. 以为直径的圆过原点D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，得，分别写出，式子，然后逐项验证，对于A直接得出;对于B利用弦长公式再结合二次函数求最值即可;，对于C，以为直径的圆过原点，则.结合韦达定理判断数量积是否为0判断即可;对于D，利用即可验证.
【详解】对于A,设直线的方程为，
则由，消去整理，得，
因为直线交抛物线与两点，设，，则
所以，，故A正确.
对于B,
，m=0时等号成立，故B正确.
对于C,如果以为直径的圆过原点，则.
由于，，
结合A选项，，
故不垂直.故C不正确.
对于D
.
,即，故D正确.
故选：ABD.
非选择题部分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，
所以两圆相交，则，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的公式,结合空间向量的坐标表示求解.
【详解】向量在向量上的投影向量等于，
故答案为：.
14. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设相关直线，分别求四点坐标，再结合向量共线的坐标表示分析运算可得，即可得离心率.
【详解】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线，

联立方程，解得，不妨令，
同理可得：，，，
且，则，
因为三点共线，则，
则，
整理可得，
同理由三点共线可得，
即，
整理可得，
因，即，则，解得，
即，所以双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用向量说明三点共线问题，可以避免斜率不存在的问题，使得问题更加严谨方便.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点，圆；
（1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）或.
（2）或
【解析】
【分析】（1）的截距均为0与不为0两种情况求解即可；
（2）由已知求得圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况求解可得直线的方程.
【小问1详解】
①当的截距均为0，即直线过原点时，设直线的方程为：
代入点，解得，
直线的方程为；
②当截距不为0时，设直线的方程为：，
点入点，解得，
直线的方程为；
综上所述，直线的方程为或.
【小问2详解】
且圆的半径为2，
圆心到直线的距离为1.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为：即，
又圆心到直线距离为解得，
直线的方程为：；
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果；
（2）由线面角的向量求法计算即可得出结果.
【小问1详解】
由题意可知，底面为菱形，可得，
依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知
；
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即，
据此可得平面的一个法向量为：，
又易知
点到平面的距离.
【小问2详解】
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
又
则即，
据此可得平面的一个法向量为，
又
因此，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段上，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（2）设，由题意可得，当平面的法向量时，四点共面，利用数量积的坐标表示求出即可.
【小问1详解】
因为平面，以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，
方向为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
易知：，
由可得点的坐标为，
由可得，
设平面的法向量为：m=x,y,z，
则，
据此可得平面的一个法向量为：，
很明显平面的一个法向量为，
，
二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
小问2详解】
已知，设由，
可得，则，
由（1）得平面的一个法向量为：，
令，即，
解得，
故线段上存在一点，当时，可使四点共面.
18. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可；
（2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可；
【小问1详解】
由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，解得，
由离心率，又，解得，
双曲线的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为：，
联立，
恒成立，，
直线与双曲线的右支交于两点，，解得.
，
.

19. 在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为.
（1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值.
（2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积.
（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值.
【答案】（1），
（2）点的轨迹为半圆，
（3）.
【解析】
【分析】（1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可；
（2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论；
（3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，
则点在空间中的坐标分别为，
；
；
【小问2详解】
由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论，
①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.
②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，
点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分.
点的轨迹为半圆：与圆：
的组合曲线（如图），
其与轴围成的图形的面积为：.
【小问3详解】
①当直线与轴垂直时，显然不成立.
②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，
，
联立方程，
，
，
代入韦达定理可得：，即，
化解可得或，
当时，直线经过点，故舍去.
则，
①当点在轴的同侧时，即时，则，
②当点在轴的异侧时，即时，则，
.
综上所述：；
故的最大值为.
【点睛】思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用.