2023年中考考前押题数学密卷（江苏无锡卷）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）相反数是最大负整数的数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
【分析】直接得出最大负整数，进而利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵最大负整数是﹣1，
∴相反数是最大负整数的数是：1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）函数y=x+1+（x﹣1）﹣1，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＞﹣1且x≠1D．x≥﹣1且x≠1
【分析】根据二次根式的性质和负整数指数幂的意义，被开方数大于等于0，底数不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝a2b2D．a6÷a3＝a2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、ab）2＝a2b2，故C符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）在某中学举行的演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩如下表，请你根据表中提供的成绩，计算出这5名选手成绩的方差是（ ）
A．2分2B．6.8分2C．34分2D．93分2
【分析】首先根据五名选手的平均成绩求得3号选手的成绩，然后利用方差公式直接计算即可．
【解答】解：观察表格知道5名选手的平均成绩为91分，
∴3号选手的成绩为91×5﹣90﹣95﹣89﹣88＝93（分），
所以方差为：15[（90﹣91）2+（95﹣91）2+（93﹣91）2+（89﹣91）2+（88﹣91）2]＝6.8（分2），
故选：B．
【点评】本题考查了方差的计算，牢记方差公式是解答本题的关键．
5．（3分）已知3是关于x的方程2x+a＝1的解，则a的值是（ ）
A．﹣5B．5C．7D．2
【分析】把x＝3代入方程2x+a＝1得出6+a＝1，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝3代入方程2x+a＝1得：6+a＝1，
解得：a＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
6．（3分）如图，已知直线AB∥CD，点F为直线AB上一点，G为射线BD上一点．若∠HDG＝2∠CDH，∠GBE＝2∠EBF，HD交BE于点E，则∠E的度数为（ ）
A．45°B．60°C．65°D．无法确定
【分析】设∠CDH＝x，∠EBF＝y，得到∠HDG＝2x，∠DBE＝2y，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDG＝3x，求得x+y＝60°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠HDG＝2∠CDH，∠GBE＝2∠EBF，
∴设∠CDH＝x，∠EBF＝y，
∴∠HDG＝2x，∠DBE＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDG＝3x，
∴3x+2y+y＝180°，
∴x+y＝60°，
∵∠BDE＝∠HDG＝2x，
∴∠E＝180°﹣2x﹣2y＝180°﹣2（x+y）＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且AD：DB=3：1，若此扇形OAB的面积为，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和扇形面积公式可求解．
【解答】解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM=12OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵AD：DB=3：1，
∴∠AOB＝80°
设扇形的半径为r，
∴，
∴r＝4（负值已舍去），
∴AB=80π×4180=169π．
故选：C．
【点评】本题运用了弧长公式弧长公式和扇形面积公式，轴对称的性质，关键是熟记弧长公式和扇形面积公式．
8．（3分）点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y=-6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y=-6x求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y=-6x的图象上，
∴y1=-6-3=2，y2=-6-1=6，y3=-62=-3，
∵﹣3＜2＜6，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．
9．（3分）正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，其中点A在第一象限，则m+n等于（ ）
A．3B．﹣1C．1D．﹣3
【分析】由于正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，那么A和B在y＝k1x上，也在y=k2x上．
【解答】解：把A（1，m），B（n，﹣2）两点分别代入y＝k1x和y=k2x，
得m=k1-2=k1n，m=k2-2=k2n，
即mn＝﹣2，mn=-2．
于是得到，
解得m1=-2n1=1和m2=2n2=-1．
由于A在第一象限，
所以k1＞0，即m＞0，
所以只能取值m=2n=-1．
所以m+n＝1．
故选：C．
【点评】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
10．（3分）如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD＝CG＝4，AB＝CE＝2，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．25B．23C．10D．4
【分析】根据题意和题目中的数据可以求得AC、CF和AF的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACF的形状，然后利用直角三角形斜边上的中线和斜边的关系即可求得CH的长．
【解答】解：连接AC、CF，延长AD到M交EF于点M，
∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，AD＝CG＝4，AB＝CE＝2，连接AF，
∴AC=42+22=25，CF＝25，AF=AM2+MF2=(4+2)2+(4-2)2=210，
∵AC2+CF2=(25)2+(25)2=40＝AF2，
∴△ACF是直角三角形，
∵点H是AF的中点，
∴CH，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3b3﹣9a＝ a（a2b3﹣9） ．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a2b3﹣9）．
故答案为：a（a2b3﹣9）．
【点评】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）代数式11-a在实数范围内有意义的条件是 a≥0且a≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0．
【解答】解：依题意有a≥0，
且10，即a≠1．
故自变量x的取值范围是a≥0且a≠1．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子a（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零．
13．（3分）如图，圆锥体的高h=22cm，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 120° ．
【分析】根据勾股定理，可求出母线长为(22)2+12=3cm，圆锥的底面周长为2πr＝2π，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角．
【解答】解：根据题意得，圆锥的母线长为：(22)2+12=3（cm），
设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，，
解得：n＝120，
∴该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长＝展开图扇形弧长，圆锥母线长＝展开图扇形半径，母线长=h2+r2，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
14．（3分）请你设计一个与y轴交于点（0，1），且当x＜0时，y随x的增大而减小的抛物线的函数表达式为 y＝x2+1 ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c （a≠0），与y轴交于点（0，1）得到c＝1，当x＜0时，y随x的增大而减小得到a＞0，0，满足以上三个条件的a、b、c的值即可得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c （a≠0），
∵抛物线与y轴交于点（0，1），
∴c＝1，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴a＞0，0，
∴只要满足以上三个条件就行，
如a＝1，b＝0，c＝1时，二次函数的解析式是y＝x2+1．
故答案为：y＝x2+1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
15．（3分）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为 100（1+x）2＝144 ．
【分析】设九、十月份营业额的月平均增长率为x，根据该商场八月及十月份的营业额，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设九、十月份营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：100（1+x）2＝144．
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD．垂足为点E，连接AC．若CD＝23，∠A＝30°，则BD的长为 2 ．
【分析】由圆周角定理得出∠BDC＝∠A＝30°，由垂径定理得出CE＝DE=12CD=3，再由三角函数或勾股定理设未知数可得BD的长．
【解答】解：如图所示，则∠BDC＝∠A＝30°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE=12CD=3，∠BED＝90°，
∴BD＝2BE，
设BE＝x，则BD＝2x，
由勾股定理得：BD2＝BE2+ED2，
(2x)2=x2+(3)2，
x＝1，
∴BD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出ED是解决问题的关键．
17．（3分）已知一平面直角坐标系内有点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5），若在该坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S△ABD＝10，点D的坐标为 （﹣2，7）或（﹣2，﹣1） ．
【分析】将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点C的坐标及CD∥y轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据S△ABD＝10，可得关于m的方程，解得m的值即可．
【解答】解：将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：
∵点A（﹣4，3），点B（1，3），
∴AB∥x轴，
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
∵点C（﹣2，5），CD∥y轴，
∴点D的横坐标为﹣2，设点D的纵坐标为m，
∵S△ABD＝10，
∴5×|m﹣3|＝10，
∴|m﹣3|＝4，
∴m＝7或m＝﹣1．
∴点D的坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键．
18．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）
【分析】利用折叠性质得∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF＝8，则DF＝AD﹣AF＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝4，利用勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以AG＝3，GF＝5，于是可对④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到DEDF=AFAB=43，而 ABAG=63=2，所以，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算S△ABG和S△GHF可对③进行判断．
【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴ABDF=AFDE，
∴DEDF=AFAB=86=43，
而 ABAG=63=2，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG=12×6×3＝9，S△GHF=12×3×4＝6，
∴S△ABG=32S△FGH．所以③正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：
（1）|﹣5|+327-(13)-1；
（2）（1m-1n）．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝5+3﹣3
＝5．
（2）原式=n-mmn÷(m-n)2mn
=n-mmn•mn(n-m)2
=1n-m．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）（1）解方程：x（x﹣3）+x＝3；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解：（1）x（x﹣3）+x＝3，
x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2），
解不等式①，x≥3，
解不等式②，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是 x≥3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程和解一元一次不等式，熟练掌握各自的方法和步骤是解题的关键．
21．（8分）如图，AB＝AC，CE∥AB，D是AC上的一点，且AD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE．
（2）若∠ABD＝25°，∠CBD＝40°，求∠BAE的度数．
【分析】（1）由CE∥AB，得∠BAD＝∠ACE，而AB＝CA，AD＝CE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△CAE；
（2）由∠ABD＝∠CAE＝25°，∠CBD＝40°，得∠ACB＝∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝65°，则∠BAC＝50°，所以∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA BAD= ACEAD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠CAE＝25°，
∵∠CBD＝40°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝25°+40°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝50°+25°＝75°，
∴∠BAE的度数是75°．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠BAD＝∠ACE及△ABD≌△CAE是解题的关键．
22．（8分）一张圆桌旁有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位这一事件属于 随机 事件；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念可得答案；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲坐在①号座位这一事件属于随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为46=23．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23．（10分）某学校七年级举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的一分钟跳绳大赛，校团委组织了全级900名学生参加．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ 35 ，n＝ 25% ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该校七年级参加本次比赛的900名学生中成绩是“优”的有多少人．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以得到m和n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校七年级参加本次比赛的90名学生中成绩是“优”的有多少人．
【解答】解：（1）m＝100×35%＝35，n＝1﹣5%﹣15%﹣20%﹣35%＝25%，
故答案为：35，25%；
（2）由（1）知，m＝35，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）900×（35%+25%）＝900×60%＝540（人），
答：估计该校七年级参加本次比赛的900名学生中成绩是“优”的有540人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交CB于D，E为AB延长线上一点，∠C+∠BDE＝90°．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，tan∠ABC=5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，证得∠ODB+∠BDE＝90°，则∠ODE＝90°，可得出结论；
（2）连接AD，证明△BDE∽△DEA，可求出DE，AE 的长，则AB可求出．则答案可得出．
【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C+∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BDE＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠BDE＝∠BAD，
∴△BDE∽△DEA，
∴BEDE=DBAD=DEAE，
∵tan∠ABC=5，
∴ADBD=5，
∴DEBE=5，
∵BE＝2，
∴DE＝25，AE＝10，
∴AB＝10﹣2＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（10分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为2，4，10的三角形．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）作一个边长为5的正方形即可；
（3）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，正方形ABCD即为所求；
（3）如图③中，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）随着第24届北京冬奥会和冬残奥会的顺利召开，“冰墩墩”和“雪容融”成为了大家竞相追捧的吉祥物，某商家迅速抓住这一商机，购进了一批“冰墩墩”和“雪容融”小挂件，已知2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元．
（1）“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价各是多少元？
（2）如果这一商家准备再购进相同的“冰墩墩”和“雪容融”小挂件共100个，且“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据2个“冰墩墩”和1个“雪容融”小挂件共需26元，4个“冰墩墩”和3个“雪容融”小挂件共需62元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到总费用和购进“冰墩墩”小挂件个数的函数关系式，然后根据“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，可以得到购进“冰墩墩”小挂件个数的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为a元、b元，
由题意可得：2a+b=264a+3b=62，
解得a=8b=10，
答：“冰墩墩”和“雪容融”小挂件单价分别为8元，10元；
（2）设购进“冰墩墩”小挂件x个，则购进“雪容融”小挂件（100﹣x）个，所需总费用为w元，
由题意可得：w＝8x+10（100﹣x）＝﹣2x+1000，
∴w随x的增大而减小，
∵“雪容融”的数量不少于“冰墩墩”数量的13，
∴100﹣x≥13x，
解得x≤75，
∴当x＝75时，w取得最小值，此时w＝850，100﹣x＝25，
答：最省钱的购买方案是设购进“冰墩墩”小挂件75个，购进“雪容融”小挂件25个，最少费用为850元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
27．（12分）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x．
（1）求该二次函数表达式；
（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在对称轴上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，则∠MOB＝∠CAO或∠ACO，进而求解；
（3）分PA＝AC、PA＝PC、AC＝PC三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．
【解答】解：（1）对于y=12x+2，当x＝0时，y＝2，即点C（0，2），
令y=12x+2＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x，则点B（1，0），
设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵抛物线过点C（0，2），则﹣4a＝2，
解得：a，
故抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）存在，理由：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=COOA=12，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠MOB＝90°，
∴∠MOB＝∠CAO或∠ACO，
∴tan∠MOB＝tan∠CAO或tan∠ACO=12或2，
即OMBO=OM1=2或12，
解得：OM=12或2，
即点M（0，2）或（0，12）；
（3）存在，理由：
设点P（，t），
由点A、C、P的坐标得：PA2＝（4）2+t2，AC2＝20，PC2=94+（t﹣2）2，
当PA＝AC时，则（4）2+t2＝20，
解得：t，
即点P的坐标为：（，552）或（，）；
当PA＝PC时，则（4）2+t2=94+（t﹣2）2，
解得：t＝0，
即点P（，0）；
当AC＝PC时，则20=94+（t﹣2）2，
解得：t＝2±712，
即点P的坐标为：（，2+712）或（，2）．
综上，点P的坐标为：（，552）或（，）或（，0）或（，2+712）或（，2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类求解是本题求解的关键．
28．（12分）问题提出
（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则AFDE= 1 ；
（2）如图2，平行四边形ABCD，AB=285，BC=165，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，你能求出AFDE的比值吗？请写出求比值的过程；
问题解决
（3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，CDAD=97，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠B时，求ACDE的值．
【分析】（1）证△BAF≌△ADE（ASA），得AF＝DE，即可得出结论；
（2）证△OAE∽△BAF，得AEOA=AFAB，再证△ADO∽△EDA，得DEAD=AEOA，则DEAD=AFAB，即可得出结论；
（3）过点D作DN∥AB交BC的延长线于点N，过点A作AM∥BC交ND的延长线于点M，连接OM，则四边形ABNM是平行四边形，同（2）得△OAE∽△BAC，则AEOA=ACAB，再证△ADE∽△OMA，得AEOA=DEAM，则ACDE=ABAM，在NM上取一点P，使NP＝NC，连接CP，证△PCN是等边三角形，得CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°，然后证△PCD∽△MDA，得DMCP=AMDP=ADCD=79，设AM＝7x，则DP＝9x，CP＝PN＝NC＝7x﹣45，进而由MN＝PN+PD+DM＝113得出方程，求出x＝9，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠FOD＝90°，
∴∠AOE＝∠FOD＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴AF＝DE，
∴AFDE=1，
故答案为：1；
（2）能求出AFDE的比值为74，过程如下：
∵∠FOD＝∠B，∠AOE＝∠FOD，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠OAE＝∠BAF，
∴△OAE∽△BAF，
∴AEOA=AFAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC=165，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∵∠FOD+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠BAD，
∵∠ADO＝∠EDA，
∴△ADO∽△EDA，
∴DEAD=AEOA，
∴DEAD=AFAB，
∴AFDE=ABAD=285165=74；
（3）如图3，过点D作DN∥AB交BC的延长线于点N，过点A作AM∥BC交ND的延长线于点M，连接OM，
则四边形ABNM是平行四边形，
∴∠AMN＝∠B＝120°，∠BAM＝180°﹣∠B＝60°，AM＝BN，MN＝AB＝113，
同（2）得：△OAE∽△BAC，
∴AEOA=ACAB，
∵∠COD＝∠B＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOD+∠AMN＝180°，
∴A、O、D、M四点共圆，
∴∠ADO＝∠OMA，∠DOM＝∠DAM，
∵∠AOD＝∠BAM＝60°，
∴∠AOD﹣∠DOM＝∠BAD﹣∠DAM，
即∠AOM＝∠EAD，
∴△ADE∽△OMA，
∴AEOA=DEAM，
∴ACAB=DEAM，
∴ACDE=ABAM，
在NM上取一点P，使NP＝NC，连接CP，
∵AB∥MN，∠B＝120°，
∴∠N+∠B＝180°，
∴∠N＝60°，
∴△PCN是等边三角形，
∴CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°，
∴∠CPD＝120°＝∠M，
∵∠ADC＝120°，
∴∠PDC+∠PCD＝180°﹣∠ADC＝60°＝∠PDC+∠MDA，
∴∠PCD＝∠MDA，
∴△PCD∽△MDA，
∴DMCP=AMDP=ADCD=79，
设AM＝7x，则DP＝9x，CP＝PN＝NC＝BN﹣BC＝7x﹣45，
∴DM=79CP=499x﹣35，
∵MN＝PN+PD+DM＝113，
∴7x﹣45+9x+499x﹣35＝113，
解得：x＝9，
∴AM＝7x＝63，
∴AEDE=ABAM=11363．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
B
A
B
C
C
C
C
选手
1号
2号
3号
4号
5号
平均成绩
得分
90
95
■
89
88
91
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
5
5%
60≤x＜70
15
15%
70≤x＜80
20
20%
80≤x＜90
m
35%
90≤x≤100
25
n