甘肃省兰州市教育局第四片区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

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一、选择题（每小题3分，共36分）
1．校徽是一所学校的外在形象标志，诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分，下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是轴对称图形的是 （ ）
2. 若是关于的一元二次方程的一个解．则的值是 （ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
3．下列命题中正确的是 （ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形
4．双眼皮由显性基因控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为和，则小小颍是双眼皮的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．根据下列表格提供的对应数值，判断关于的方程的一个解的取值范围 （ ）
A． B． C． D．
6．近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A． 9.6 B．11.2 C． 4.8 D．0.3
7.党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国约达135万亿元，将增长率记作，可列方程为 （ ） A． B．
C． D．
第6题图 第8题图 第9题图 第10题图
如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于
点，．点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则 的长为 （ ）
A． B． C． D．
9. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以
点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 （ ）
A． B． C． D．
10.如图，在中，为上一点，下列条件中：①；②；③；④.能满足与相似的条件是( )
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
11．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》.如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图:根据统计图中的信息,下列推断错误的是 （ ）
A.2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升.
B.2023年中国低空经济市场规模增量最多.
C.从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小.
D.2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元.
第11题图 第12题图
12．已知：如图，在正方形外取一点，连接过点作的垂线交于点，若.下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共12分）
13.因式分解： ．
14.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
15. 如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为 .

第15题图 第16题图
16．如图，在矩形中，对角线相交于点，过点作，垂足为点，连接交于点，过作，垂足为点，则的值是 ．
三、解答题（本大题共72分）
17．(4分)解方程:．
18. (4分)解不等式组：
19. (4分)先化简，再求值：．
20．(5分)如图，分别是三边中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，求的长． 第20题图
21．(5分)假日出游已经成为生活新潮．小明收集了4个自己感兴趣的甘肃景区图片，制成编号为的四张卡片（除字母和内容外，其余均相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张．
（1从中随机抽取一张，求抽到“鸣沙山”的概率．
（2）请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“鸣沙山”和“莫高窟”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号表示）
22. (6分)如图,在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点.
(1)求证：∽；
(2)若求的长.

第22题图
23.(6分)配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．
我们使用的方法如下：
的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
(1) 的最大值为______；
(2)求的最小值．
24．(7分)兰州“润兰之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策。某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降2元，每日销售量就增加4个．
（1）若售价下降3元，每日能售出 个台灯，若售价下降元（），每日能售出
个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价．
（3）日获利能否达到2000元，说明理由．
25. (8分)在四边形中，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)= ，= （用含的代数式表示）；
(2)当两点间的距离是时，求的值；
(3)填空： ①当= 时，四边形是菱形；
②当= 时，四边形是矩形． 第25题图
26.(6分)请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
第26题图
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线
段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
（1）上述过程中的“依据”指的是 ；
（2）请将该定理的证明过程补充完整.
27. (8分)【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动,折纸与自然科学结合在一起,发展出了折纸几何学,成为了现代几何学的一个分支.折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1,在中,，①分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点,作直线,交于点,交于点；③连接.
【操作体验】 (1)根据“观察发现”中的步骤,用尺规作图；
【推理论证】 (2)在综合与实践课上,同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动.如图2,①将长方形纸片对折,使与重合,得到折痕,展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片,使点的对应点落在折痕上,展平纸片,得到的新折痕与边交于点，连.小亮根据上面步骤得出,请你补全括号里的证明依据；
证明:
（ 依据1 ）
依据2 )
【拓展探究】 (3)对称的性质在日常生活中也有重要的应用.如图3,某地有两个村庄和两条相交叉的公路,现计划修建一个物资仓库,希望仓库到两个村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等,请你用尺规作图的方法确定该仓库.(保留作图痕迹,不写作法)
28．(9分)综合与实践
(1)【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系： ．
(2)【类比探究】兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】在（2）的条件下，点在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.
A．兰州市第三十六中学
B．兰州市第九中学
C.兰州市第十一中学
D．兰州市第五十五中学
…
3.24
3.25
3.26
…
…
﹣0.02
-0.01
0.03
…
鸣沙山
莫高窟
七彩丹霞
嘉峪关
A
B
C
D