2025年中考数学一轮复习 解直角三角形 解答题练习三（含答案）

这是一份2025年中考数学一轮复习 解直角三角形 解答题练习三（含答案），共8页。试卷主要包含了1米，参考数据，414，eq \r≈1，07﹣5＝2，07 m，2，，2°．等内容，欢迎下载使用。
如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板长为5 m，点D，B，C在同一水平地面上.问：改善后滑滑板会加长多少(精确到0.01 m，参考数据：eq \r(2)＝1.414，eq \r(3)＝1.732，eq \r(6)＝2.449)?
如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处.
(1)求点C与点A的距离(精确到1 km)；
(2)确定点C相对于点A的方向.(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米.
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数.
(2)求篮板底部点E到地面的距离.(结果保留根号)
图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49）






如图所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45，结果精确到0.1小时)
如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶eq \r(3)，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．(结果精确到0.1)．
(1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO= °．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
(参考数据：sin70°≈0.94，cs20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cs53.2°≈0.60)
\s 0 答案
解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD==，即=，
解得：x=≈20.5(米)，
答：公路的宽为20.5米.
解：在Rt△ABC中，∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB·sin45°＝5×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(5 \r(2),2)(m).
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝5 eq \r(2)≈5×1.414＝7.07(m)，
∴AD﹣AB＝7.07﹣5＝2.07(m).
答：改善后滑滑板约会加长2.07 m.
解：(1)过点A作AD⊥BC于点D.由图得，∠ABC＝75°﹣15°＝60°.
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100.
∴BD＝50，AD＝50eq \r(3).
∴CD＝BC﹣BD＝200﹣50＝150.
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝100eq \r(3)≈173(km).
即点C与点A的距离约为173 km.
(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100eq \r(3))2＝40000，BC2＝2002＝40000，
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝90°﹣15°＝75°.
答：点C位于点A的南偏东75°方向
解：(1)在Rt△EFH中，cs∠FHE==，
∴∠FHE=45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
(2)延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM=AB，HN=EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，
∴AB=BCtan60°=1×=，
∴GM=AB=，
在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，
∴HN=AHsin45°=×=，∴EM=EG+GM=+，
答：篮板底部点E到地面的距离是(+)米.
解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，

过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt中，∠AOE=26°，OA=10，
则OE=OA•cs∠AOE≈10×0.90=9cm，


在Rt中，∠BAF=30°，AB=8，
则BF=AB•sin∠BOF=8×0.5=4cm，
∴OG=BD﹣BF﹣OE=（175+15）﹣4﹣9=177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm.
解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D
∵∠BCD＝45°，BD⊥CD
∴BD＝CD
在Rt△BDC中，∵cs∠BCD＝，BC＝60海里
即cs45°＝eq \f(\r(2),2)，解得CD＝30eq \r(2)海里
∴BD＝CD＝30eq \r(2)海里
在Rt△ADC中，∵tan∠ACD＝AD：CD，得AD＝30eq \r(6)海里
∵AB＝AD﹣BD
∴AB＝30eq \r(6)-30eq \r(2)＝30(eq \r(6)-eq \r(2))海里
∵海监船A的航行速度为30海里/小时
则渔船在B处需要等待的时间为eq \r(6)-eq \r(2)≈2.45﹣1.41＝1.04≈1.0小时
∴渔船在B处需要等待1.0小时
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i=eq \f(EF,CF)=eq \f(1,\r(3))=tan∠ECF，
∴∠ECF=30°.
∴EF=eq \f(1,2)CE=10米，CF=10eq \r(3)米.
∴BH=EF=10米，
HE=BF=BC＋CF=(25＋10eq \r(3))米.
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=(25＋10eq \r(3))米.
∴AB=AH＋HB=(35＋10eq \r(3))米.
答：楼房AB的高为(35＋10eq \r(3))米.
解：
(1)①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，
∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，
∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，
则AF=AB•sin∠ABE=30sin70°≈28.2(cm)，
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD=28.2+6.8﹣8=27(cm)；
(2)过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，
过A作AF⊥BM于点F，如图3，
则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=30cm，CD=8cm，
∴CM=AF+AO﹣DH﹣CD=28.2+6.8﹣6﹣8=21(cm)，
∴sin∠MBC=，∴∠MBC=36.8°，
∴∠ABC=∠ABM﹣∠MBC=33.2°．