2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 平行四边形存在问题（含答案）

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如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D(0，3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P(m，0)为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A(﹣1，0)、B两点，交直线l于点A、C(2，﹣3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
(4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点．
(1)求线段AB的长．
(2)过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2eq \r(3)PE＋3PF的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
如图，抛物线y＝﹣x2＋6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5．
(1)写出相应点的坐标：A ，B ，C ；
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与直线y＝﹣x＋3交于点B、C(0，n)．
(1)求点C的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求该抛物线的表达式；
(3)点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标(用含t的代数式表示)；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．
如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2eq \r(2)个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．
如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(﹣eq \r(3)，0)，B(3eq \r(3)，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
(1)填空：△ABC的形状是 ．
(2)求抛物线的解析式；
(3)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
(4)M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b(k≠0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
\s 0 答案
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx﹣3中得：
．解得：．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
(2)设直线l的解析式为y＝kx＋n，
将B(3，0)，D(0，3)代入上式得：
．解得：．
∴直线l的解析式为：y＝﹣x＋3．
∵点P(m，0)，EF⊥x轴，
∴E点坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点F的坐标为(m，﹣m＋3)．
∴EF＝﹣m＋3﹣m2＋2m＋3＝﹣m2＋m＋6．
∵B(3，0)，
∴OB＝3．
∵S四边形CEBF＝S△CEF＋S△BEF＝eq \f(1,2)EF•OP＋eq \f(1,2)•BP×EF＝eq \f(1,2)FE•OB，
∴＝﹣．
∵＜0，
∴当m＝eq \f(1,2)时，S四边形CEBF有最大值＝．
即：当m＝eq \f(1,2)时，四边形CEBF面积的最大值为．
(3)存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C(0，﹣3)．
∴OC＝3．
∵A(﹣1，0)，
∴OA＝1．
过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，
∵四边形ACMN为平行四边形，
∴AC∥MN，AC＝MN．
∵NF⊥ME，ME⊥OE，
∴NF∥OE．
∴∠ACO＝∠MNF．
在△AOC和△MFN中，
．
∴△AOC≌△MFN(AAS)．
∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．
设M(h，h2﹣2h﹣3)，则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2＋2h＋3．
∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．
∴N(h﹣1，﹣h＋4)．
∴NG＝﹣h＋4，
∵NG＋GF＝NF＝3，
∴﹣h＋4﹣h2＋2h＋3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．
∴h＝．∴M()．
②当点M在直线BD的上方时，如图，
过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，
由①知：△MNF≌△CAO(AAS)，可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．
设M(h，h2﹣2h﹣3)，则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．
∴NE＝EF＋NF＝h＋1．
∴N(h＋1，﹣h＋2)．
∴GF＝OE＝h﹣2．
∵MG＋GF＝MF＝3，
∴h﹣2＋h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝(负数不合题意，舍去)．
∴h＝．∴M()．
综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为()或()．
解：(1)把A(﹣1，0)、C(2，﹣3)分别代入y＝ax2＋bx﹣3，
得．解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
(2)存在，理由如下：∵S△ABD＝S△ABC，C(2，﹣3)，
∴eq \f(1,2)AB•|yC|＝eq \f(1,2)AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D(0，3)或(0，﹣3)；
(3)由A(﹣1，0)、C(2，﹣3)得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为(m，﹣m﹣1)(﹣1≤m≤2)，则点E的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，
∴PE＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋m＋2＝﹣(m﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(9,4)，
∵﹣1＜0，
∴当m＝eq \f(1,2)时，PE取最大值，最大值为eq \f(9,4)；
(4)存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，﹣3)，
∵C(2，﹣3)，
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1(﹣3，0)．
当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±eq \r(7)，
∴F3(1﹣eq \r(7)，3)，F4(1＋eq \r(7)，3)，
由平移的性质可知G3(4﹣eq \r(7)，0)，G4(4＋eq \r(7)，0)．
综上所述，满足条件的点G的坐标为(﹣3，0)或(1，0)或(4﹣eq \r(7)，0)或(4＋eq \r(7)，0)．
解：(1)令﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)＝0，解得x＝1或x＝﹣3，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)，
∴AB＝4；
(2)∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x＋eq \r(3)，
∴C(0，eq \r(3))，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝eq \f(\r(3),3)x﹣eq \f(\r(3),3)，
设点P(t，﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3))，则Q(t，eq \f(\r(3),3)t＋eq \r(3))，F(t，eq \f(\r(3),3)t﹣eq \f(\r(3),3))，
∵点P为直线AC上方，
∴PQ＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3)﹣eq \f(\r(3),3)t﹣eq \r(3)＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t，
PF＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \f(2\r(3),3)t＋eq \r(3)﹣eq \f(\r(3),3)t＋eq \f(\r(3),3)＝﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3)，
∵OA＝3，OC＝eq \r(3)，
∴∠CAO＝30°，
∵PE⊥AC，PF⊥AO，
∴∠QPE＝30°，
∴PE＝eq \f(\r(3),2)PQ，
∴2eq \r(3)PE＋3PF＝3PQ＋3PF＝3(﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t﹣eq \f(\r(3),3)t2﹣eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3))
＝3(﹣eq \f(2\r(3),3)t2﹣2eq \r(3)t＋eq \f(4\r(3),3))＝﹣2eq \r(3)t2﹣6eq \r(3)t＋4eq \r(3)＝﹣2eq \r(3)(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(17,2)eq \r(3)，
∴当t＝﹣eq \f(3,2)时，2eq \r(3)PE＋3PF有最大值eq \f(17,2)eq \r(3)，此时P(﹣eq \f(3,2)，eq \f(5,4)eq \r(3))；
(3)∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)(x＋1)2＋eq \f(4\r(3),3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣2)2＋eq \f(4\r(3),3)，
设M(m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m)，N(﹣1，n)，
①当AB为平行四边形的对角线时，
﹣3＋1＝m﹣1，0＝n﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m，
∴m＝﹣1，n＝eq \f(5\r(3),3)，
∴N(﹣1，eq \f(5\r(3),3))，M(﹣1，eq \f(5\r(3),3))；
②当AM为平行四边形的对角线时，
﹣3＋m＝1﹣1，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m＝n，
∴m＝3，n＝eq \r(3)，
∴M(3，eq \r(3))，N(﹣1，eq \r(3))；
③当AN为平行四边形的对角线时，
﹣3﹣1＝1＋m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(4\r(3),3)m＝n，
∴m＝﹣5，n＝﹣15eq \r(3)，
∴M(﹣5，﹣15eq \r(3))，N(﹣1，﹣15eq \r(3))；
综上所述：N点坐标为(﹣1，eq \r(3))或(﹣1，eq \f(5\r(3),3))或(﹣1，﹣15eq \r(3))．
解：(1)令﹣x2＋6x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴A(1，0)，B(5，0)，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C(0，﹣5)，
故答案为：(1，0)，(5，0)，(0，﹣5)；
(2)由题意可知0≤t≤4，
∵P点以每秒1个单位的速度向B运动，
∴P点坐标为(1＋t，0)，
∵OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∵E点以每秒2个单位的速度向C运动，
∴E点坐标为(3﹣eq \r(2)t，﹣eq \r(2)t)，
∴S△PBE＝eq \f(1,2)×(4﹣t)×(eq \r(2)t)＝﹣eq \f(\r(2),2)t2＋2eq \r(2)t＝﹣eq \f(\r(2),2)(t﹣2)2＋2eq \r(2)，
∴当t＝2时，△PBE的面积最大为2eq \r(2)；
(3)∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4，
∴AM＝2eq \r(2)，
过点M作ME⊥x轴交于点E，
∵∠BAM＝45°，
∴M(3，﹣2)，
设直线AM的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝﹣x＋1，
∵AM∥NQ，
∴直线NQ的解析式为y＝﹣x＋b'，
设N(m，﹣m2＋6m﹣5)，
∴b'＝﹣m2＋7m﹣5，
∴y＝﹣x﹣m2＋7m﹣5，
联立方程组，解得，
∴Q(，﹣5)，
①当AM为平行四边形的对角线时，1＋3＝m＋，解得m＝1(舍)或m＝8，
此时MA的中点为(2，﹣1)，NQ的中点为(2，﹣8)，
∴此时不构成平行四边形；
②当AN为平行四边形的对角线时，
1＋m＝3＋，解得m＝；
③当AQ为平行四边形的对角线时，
1＋＝3＋m，解得m＝1(舍)或m＝4；
综上所述：N点的横坐标为4或．
解：(1)把C(0，n)代入y＝﹣x＋3得：n＝3，
∴C(0，3)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，
答：C(0，3)，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1；
(2)把A(﹣1，0)、B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(3)∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，
∴P(1，t)，
∵平移BC使点B与P重合，B(3，0)，
∴C(0，3)的对应点C'坐标为(﹣2，3＋t)，
设Q(m，﹣m2＋2m＋3)，
①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：
∴，解得，
∴P(1，﹣2)；
②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图：
∴，解得，
∴P(1，﹣8)，
综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为(1，﹣2)或(1，﹣8)．
解：(1)当x＝0时，y＝﹣6，
∴C(0，﹣6)，
当y＝0时，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)；
(2)如图，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B(6，0)，C(0，﹣6)，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D(m，m﹣6)，
∴PD＝(m﹣6)﹣(eq \f(1,2)m2﹣2m﹣6)＝﹣eq \f(1,2)m2＋3m，
∴S△PBC＝﹣eq \f(3,2)(m﹣3)2＋eq \f(27,2)，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝eq \f(27,2)；
(3)如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝2，
∴F1点的坐标：(4，﹣6)，如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2＋2eq \r(7)，x2＝2﹣2eq \r(7)，
∴F2(2＋2eq \r(7)，6)，F3(2﹣2eq \r(7)，6)，
综上所述：F(4，﹣6)或(2＋2eq \r(7)，6)或(2﹣2eq \r(7)，6)．
解：(1)∵抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋3，
令x＝0得y＝3，
∴点C坐标为(0，3)，
∵OG﹣OB＝3，
∴B坐标为(3，0)，
∵tan∠CAO＝3，
∴＝3，
∴OA＝1，
∴点A坐标为(﹣1，0)，
∴设解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，
代入(0，3)得a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)，
＝﹣(x2﹣2x﹣3)
＝﹣x2＋2x＋3
＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴抛物线解析式为：y＝﹣(x﹣1)2＋4；
(2)∵Q为线段PB中点，
∴S△CPQ＝S△CPB，
当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大．
设P坐标(a，﹣a2＋2a＋3)，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
H坐标为(a，﹣a＋3)，
∴PH＝(﹣a2＋2a＋3)﹣(﹣a＋3)
＝﹣a2＋2a＋3＋a﹣3
＝﹣a2＋3a，
S△CPB＝eq \f(1,2)•PH•(xB﹣xC)＝eq \f(1,2)•PH•3＝eq \f(3,2)PH＝eq \f(3,2)(﹣a2＋3a)
＝﹣eq \f(3,2)(a2﹣3a＋eq \f(9,4)﹣eq \f(9,4))＝﹣eq \f(3,2)(a﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
当a＝eq \f(3,2)时，即P坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))时，最大S△CPQ＝eq \f(1,2)S△CPB＝，
∴P坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))；
(3)沿CB方向平移2eq \r(2)个单位，即向右2个单位，向下2个单位，
∴新抛物线解析式为y＝﹣(x﹣3)2＋2，M坐标为(3，2)C坐标为(0，3)，
点N坐标设为(n，0)，
∵＝，∴＝，
∴yD＝1，则1＝﹣(x﹣3)2＋2
﹣1＝﹣(x﹣3)2，(x﹣3)2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，
∴xD＝4或xD＝2，
＝⇒＝，
∴xN＝7，或＝，
∴xN＝5，
∴N坐标为(7，0)或(5，0)，
或＝⇒＝，得yD＝﹣1，
则﹣1＝﹣(x﹣3)2＋2，(x﹣3)2＝3，x＝±eq \r(3)＋3，
∴xD＝3﹣eq \r(3)或xD＝3＋eq \r(3)，即xN＝﹣eq \r(3)或eq \r(3)，
N坐标为(﹣eq \r(3)，0)或(eq \r(3)，0)．
解：(1)由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，
则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
(2)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x＋3①；
(3)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋3，
则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋c②，
当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，
联立①②并整理得：﹣eq \f(1,3)x2＋eq \r(3)x＋3﹣c＝0③，
则△＝(eq \r(3))2﹣4×(﹣eq \f(1,3))(3﹣c)＝0，解得：c＝eq \f(21,4)，
将c的值代入③式并解得x＝eq \f(3\r(3),2)，故点P的坐标为(eq \f(3\r(3),2)，eq \f(15,4))；
(4)由抛物线的表达式知，点E的坐标为(eq \r(3)，4)，
∵直线BC的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋3，故点D(eq \r(3)，2)，
设点M的坐标为(m，﹣eq \f(\r(3),3)m＋3)，点N的坐标为(n，﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3)，
①当ED是边时，
点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M(N)向上平移2个单位得到点N(M)，
则m＝n且﹣eq \f(\r(3),3)m＋3±2＝﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3，
解得：m＝eq \r(3)(舍去)或2eq \r(3)或；
②当ED为对角线时，
由中点坐标公式得：2eq \r(3)＝m＋n且4＋2＝﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3﹣eq \f(\r(3),3)m＋3，
解得m＝eq \r(3)(舍去)或0，
综上，m＝0或2eq \r(3)或或，
故点M的坐标为(0，3)或(2eq \r(3)，1)或(，)或(，)．
解：(1)将点A(﹣3，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4eq \r(3)，得：
，解得：，
∴y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)；
(2)∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，4eq \r(3))，
设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
将点B与点C代入可得，
，解得，
∴y＝﹣eq \r(3)x＋4eq \r(3)，
∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，
∴P(m，﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(\r(3),3)m＋4eq \r(3))，Q(m，﹣eq \r(3)m＋4eq \r(3))，
∴S△BCP＝eq \f(1,2)×BC×PN＝eq \f(1,2)×PQ×OB，
∵B(4，0)，C(0，4eq \r(3))，
∴BC＝8，
∴8PN＝(﹣eq \f(\r(3),3)m2＋eq \f(\r(3),3)m＋4eq \r(3)＋eq \r(3)m﹣4eq \r(3))×4，
∴PN＝﹣eq \f(\r(3),6)(m﹣2)2＋eq \f(2\r(3),3)，
∴当m＝2时，PN有最大值eq \f(2\r(3),3)，
∴P(2，eq \f(10,3)eq \r(3))；
(3)y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣eq \f(1,2))2＋，
∵抛物线沿着射线CB的方向平移，
设抛物线沿x轴正方向平移t(t＞0)个单位，则沿y轴负半轴平移eq \r(3)t个单位，
平移后的函数解析式为y'＝﹣eq \f(\r(3),3)(x﹣eq \f(1,2)﹣t)2＋﹣eq \r(3)t，
∵新抛物线y'过原点，
∴0＝﹣eq \f(\r(3),3)＋﹣eq \r(3)t，解得t＝2或t＝﹣6(舍)，
∴y'＝﹣eq \f(\r(3),3)＋＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(5\r(3),3)x，
∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，
联立﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(5\r(3),3)x＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)，
∴x＝3，
∴D(3，2eq \r(3))，
∵y＝﹣eq \f(\r(3),3)x2＋eq \f(\r(3),3)x＋4eq \r(3)的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，
∴E点的横坐标为eq \f(1,2)，
∵点F为新抛物线y'上一动点，
设F点横坐标为n，
①当AE与DF为平行四边形的对角线时，
∴﹣3＋eq \f(1,2)＝n＋3，
∴n＝﹣eq \f(11,2)，
∴F(﹣eq \f(11,2)，﹣)；
②当AF与ED为平行四边形对角线时，
∴﹣3＋n＝3＋eq \f(1,2)，∴n＝eq \f(13,2)，
∴F(eq \f(13,2)，﹣eq \f(13,4)eq \r(3))；
③当AD与EF为平行四边形对角线时，
∴﹣3＋3＝n＋eq \f(1,2)，∴n＝﹣eq \f(1,2)，
∴F(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(11,12)eq \r(3))；
综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，
F的坐标为(﹣eq \f(11,2)，﹣)或(eq \f(13,2)，﹣eq \f(13,4)eq \r(3))或(﹣eq \f(1,2)，﹣eq \f(11,12)eq \r(3))．
解：(1)将A(1，0)和点B(5，0)代入y＝ax2＋bx﹣5得：
，解得，
∴抛物线y＝﹣x2＋6x﹣5，
(2)作ED⊥x轴于D，
由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，
∵B(5，0)，C(0，﹣5)，
∴OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝45°，
∴ED＝sin45°×2t＝eq \r(2)，
∴S△BEP＝﹣eq \f(\r(2),2)t2＋2eq \r(2)t，
当t＝2 时，S△BEP最大为2eq \r(2)．
∴当t＝2时，S△BEP最大为2eq \r(2)．
(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，
则NF＝AE＝4，设N(m，﹣m2＋6m﹣5)，则F(m，m﹣5)，
∴NF＝|﹣m2＋5m|＝4，
∴m2﹣5m＋4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，
∴m1＝1(舍)，m2＝4，或m3＝，m4＝，
∴点N的横坐标为：4或或．