2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 直角三角形问题（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 直角三角形问题（含答案），共24页。
如图，抛物线y＝x2﹣(m＋2)x＋4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．
(1)求m的值；
(2)点P是抛物线y＝x2﹣(m＋2)x＋4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)将直线AB向下平移k(k＞0)个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点(点D在点E的左侧)，当△DEC为直角三角形时，求k的值．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为(3，0)．
(1)填空：点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
(2)当二次函数y＝x2＋bx＋c的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最小值为eq \f(5,4)，求m的值；
(3)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋12(b＜0)与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，且OB＝3OA．
(1)请直接写出b＝ ，A点的坐标是 ，B点的坐标是 ；
(2)如图(1)，D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；
(3)如图(2)，F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．
二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(﹣1，0)和点B(﹣3，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T(0，t)为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c(a＜2且a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M(m，n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．
(1)若m＝2，n＝﹣3，求a的值；
(2)记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；
(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx＋b(k≠0)，与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．
(3)如图2，若点E坐标为(2，0)，EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝x2＋2x﹣8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．
(1)求直线AC的函数表达式；
(2)求线段DE的最大值；
(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝eq \f(1,2)x＋1与x轴交于点E，与y轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；
(3)M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若CD=2OD．
(1)求点B的坐标；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
\s 0 答案
解：(1)令y＝0，
∴x2﹣(m＋2)x＋4＝0，
∵Δ＝(m＋2)2﹣4×1×4＝0，
∴m＝2或m＝﹣6，
又﹣，
∴m＞﹣2，
∴m＝2；
(2)当m＝2时，y＝x2﹣4x＋4＝(x﹣2)2，如图1，作CD∥AB交y轴于D，
∴CD的函数表达式是y＝x﹣2，
∴D(0，﹣2)，
∵y＝x＋＝2与y轴交点F(0，2)，
∴DF＝4，
在DF的延长线上截取EF＝2DF＝8，过点E作EG∥AB，
∴EG的函数表达式是：y＝x＋10，
由x2﹣4x＋4＝x＋10得，x＝﹣1或x＝6，
当x＝﹣1时，y＝﹣1＋10＝9，
当x＝6时，y＝6＋10＝16，
∴P(﹣1，9)或P(6，16)；
作CM⊥AB于M交EG于N，
∵CD∥AB∥EG，
∴＝＝，
∴点P到AB的距离是点C到AB距离的2倍，
∴△PAB的面积是△ABC面积的2倍．
(3)当∠CDE＝90°时，
∴直线CD的函数表达式是：y＝﹣x＋2，
由x2﹣4x＋4＝﹣x＋2得，x＝1或x＝2(舍去)，
当x＝1时，y＝﹣1＋2＝1，
∴y＝x＋(2﹣k)过(1，1)，
∴1＋(2﹣k)＝1，
∴k＝2，
当∠DCE＝90°时，设平移后的表达式是y＝x＋b，
由x2﹣4x＋4＝x＋b得，化简得，x2﹣5x＋(4﹣b)＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴x1＋x2＝5，y1＋y2＝5＋2b，
∴DE的中点I(，)，
∴x1﹣x2＝，
∴y1﹣y2＝x1＋b﹣(x2＋b)＝x1﹣x2＝，
∵DE2＝(x1﹣x2)2＋(y1﹣y2)2＝()2＋()2＝2(9＋4b)，
CI2＝(﹣2)2＋()2＝，
由DE＝2CI得，2(9＋4b)＝16＋4b2＋20b，∴b＝﹣1或b＝﹣2(舍去)，
∴k＝3，
综上所述，k＝2或3．
解：(1)∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x＋c，
∵点B(3，0)是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12＋c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x＋3，
令y＝0，x2﹣4x＋3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A(1，0)，
∵D是抛物线的顶点，
∴D(2，﹣1)，
故答案为(1，0)，(2，﹣1)，y＝x2﹣4x＋3；
(2)当m＋2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m＋2时，y有最小值，
则(m＋2)2﹣4(m＋2)＋3＝eq \f(5,4)，解得m＝±eq \f(5,4)，
∴m＝﹣eq \f(3,2)；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m＋3＝eq \f(5,4)，解得m＝eq \f(7,2)或m＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(7,2)；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为eq \f(7,2)或﹣eq \f(3,2)；
(3)存在，理由如下：A(1，0)，C(0，3)，
∴AC＝eq \r(10)，AC的中点为E(eq \f(1,2)，eq \f(3,2))，设P(2，t)，
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝eq \f(1,2)AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P(2，2)或P(2，1)，
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为(2，2)或(2，1)．
解：(1)令y＝x﹣3＝0，x＝3，
∴B的坐标为(3，0)，
令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3，
∴C的坐标为(0，﹣3)，
将B、C代入y＝x2＋bx＋c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3；
(2)由(1)知，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
记抛物线对称轴交x轴于E，
∵y＝x²﹣2x﹣3＝(x﹣1)²﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴EB＝2，
∴顶点D的坐标为(1，﹣4)，
若∠CBP＝15°，则分两种情况，
①如图，当P在直线BC下方时，
此时∠EBP＝60°，
∴tan∠EBP＝eq \r(3)，
∴EP＝2eq \r(3)，
∴DP＝4﹣2eq \r(3)，
∴t＝4﹣2eq \r(3)，
当P在直线BC上方时，
此时∠EBP＝30°，
∴tan∠EBP＝＝，
∴EP＝eq \f(2\r(3),3)，∴DP＝4﹣eq \f(2\r(3),3)，∴t＝4﹣eq \f(2\r(3),3)，
综上，t＝4﹣2eq \r(3)或4﹣eq \f(2\r(3),3)；
②设P的坐标为(1，n)，令y＝x²﹣2x﹣3＝0，x＝3或﹣1，
∴A的坐标为(﹣1，0)，
此时PC²＝1＋(n＋3)²＝n²＋6n＋10，
PA²＝(1＋1)²＋n²＝4＋n²，
AC²＝1＋3²＝10，
当∠PCA＝90°时，PC²＋AC²＝AP²，
n²＋6n＋10＋10＝4＋n²，解得：n＝﹣eq \f(8,3)，
∴P的坐标为(1，﹣eq \f(8,3))，DP＝4﹣eq \f(8,3)＝eq \f(4,3)，
∴t＝eq \f(4,3)，
当∠APC＝90°时，AP²＋PC²＝AC²，
4＋n²＋n²＋6n＋10＝10，解得：n＝﹣1或﹣2，
∴P的坐标为(1，﹣1)或(1，﹣2)，
DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2，
∴t＝3或2，
当∠PAC＝90°时，PA²＋AC²＝CP²，
n²＋4＋10＝n²＋6n＋10，解得：n＝eq \f(2,3)，
∴P的坐标为(1，eq \f(2,3))，
DP＝4＋eq \f(2,3)＝eq \f(14,3)，∴t＝eq \f(14,3)，
综上，t＝eq \f(4,3)或3或2或eq \f(14,3)．
解：(1)根据题意，设A(m，0)，B(3m，0)，
∴y＝(x﹣m)(x﹣3m)＝x2﹣4mx＋3m2，
∴3m2＝12，
解得：m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，3m＝6，
∴b＝﹣4m＝﹣8，A(2，0)，B(6，0)，
故答案为：﹣8，(2，0)，(6，0)；
(2)由(1)知，抛物线解析式为y＝x2﹣8x＋12，OB＝6，
令x＝0，得y＝12，
∴C(0，12)，
∴OC＝12，
设D点运动时间为t秒，则OD＝2t，
①当t≤6时，点D在线段OC上，如图(1)，过点E作EK∥x轴交y轴于点K，
∵EK∥OB，
∴＝＝，
∵BE＝5DE，
∴BD＝DE＋BE＝6DE，
∴＝＝，
∴OD＝6DK，EK＝1，
∴DK＝eq \f(1,3)t，
∴OK＝OD﹣DK＝2t﹣eq \f(1,3)t＝eq \f(5,3)t，
∴E(1，eq \f(5,3)t)，
∴eq \f(5,3)t＝12﹣8×1＋12，
∴t＝3，
②当t＞6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1′)，
过点E作EK∥OB交y轴于点K，
∵BE＝5DE，
∴BD＝BE﹣DE＝4DE，
∵EK∥OB，
∴＝＝，即＝＝＝，
∴EK＝eq \f(3,2)，DK＝eq \f(1,2)t，
∴OK＝OD＋DK＝2t＋eq \f(1,2)t＝eq \f(5,2)t，
∴E(﹣eq \f(3,2)，eq \f(5,2)t)，
∴eq \f(5,2)t＝(﹣eq \f(3,2))2﹣8×(﹣eq \f(3,2))＋12，解得：t＝eq \f(21,2)，
综上所述，D点运动时间为3秒或eq \f(21,2)秒；
(3)∵y＝x2﹣8x＋12＝(x﹣4)2﹣4，
∴顶点F(4，﹣4)，
∵MN∥x轴且经过点F(4，﹣4)，
∴直线MN为y＝﹣4，
∵P点在直线MN上运动，
∴设P(t，﹣4)，
∵△PAC为直角三角形，
∴∠APC＝90°或∠PAC＝90°或∠ACP＝90°，
①当∠APC＝90°时，设点C(m，n)，如图(2)，
过点A作AG⊥MN，过点C作CH⊥MN，
∴∠AGP＝∠CHP＝∠APC＝90°，
AG＝4，CH＝n＋4，PH＝m﹣t，PG＝t﹣2，
∴∠GAP＋∠APG＝∠APG＋∠CPH＝90°，
∴∠GAP＝∠CPH，
∴△APG∽△PCH，
∴＝，即＝，
整理得：t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，
∵恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，而当∠PAC＝90°或∠ACP＝90°时，均有且仅有一个点P存在，
∴当∠APC＝90°时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，
∴△＝(m＋2)2﹣4(2m＋4n＋16)＝0，
∴n＝，
又∵点C(m，n)是对称轴右侧的抛物线上的一定点，
∴n＝m2﹣8m＋12，
∴m2﹣8m＋12＝，
整理得15m2﹣124m＋252＝0，
解得：m1＝eq \f(14,3)，m2＝eq \f(18,5)，
∵eq \f(18,5)＜4，m2＝eq \f(18,5)不符合题意，舍去，
∴m＝eq \f(14,3)，此时n＝(eq \f(14,3))2﹣8×eq \f(14,3)＋12＝﹣，
∴C(eq \f(14,3)，﹣)，
将m＝eq \f(14,3)，n＝﹣，代入t2﹣(m＋2)t＋2m＋4n＋16＝0，
整理得：t2﹣eq \f(20,3)t＋eq \f(100,9)＝0，解得：t1＝t2＝eq \f(10,3)，
∴P(eq \f(10,3)，﹣4)；
②当∠PAC＝90°时，如图(2)②，
过点C作CT⊥x轴于点T，过点P作PR⊥x轴于点R，
则AT＝eq \f(14,3)﹣2＝eq \f(8,3)，CT＝，PR＝4，AR＝2﹣t，
∠ATC＝∠PRA＝∠PAC＝90°，
∴∠PAR＋∠APR＝∠PAR＋∠CAT＝90°，
∴∠APR＝∠CAT，
∴△APR∽△CAT，
∴＝，即＝，
解得：t＝﹣eq \f(10,3)，∴P(﹣eq \f(10,3)，﹣4)；
③当∠ACP＝90°时，如图(2)③，
过点C作KH⊥x轴于点H，交直线MN于点K，
则∠AHC＝∠CKP＝∠ACP＝90°，
CH＝，AH＝，CK＝4﹣＝，PK＝﹣t，
∵∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠PCK＝90°，
∴∠CAH＝∠PCK，
∴△CAH∽△PCK，
∴＝，
∴AH•PK＝CK•CH，即(﹣t)＝×，
解得：t＝，∴P(，﹣4)；
综上所述，
C点坐标为(，﹣)，P点的坐标为(，﹣4)或(﹣，﹣4)或(，﹣4)．
解：(1)∵二次函数过点A(﹣1，0)，B(﹣3，0)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x＋3)，
将C(0，﹣3)代入，得：3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；
(2)如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．
由(1)得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣(x＋2)2＋1，
∴抛物线顶点E(﹣2，1)，
设直线BE的解析式为y＝kx＋b，
∵B(﹣3，0)，E(﹣2，1)，
∴，解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x＋3，
∴Q(0，3)，
∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T(0，t)旋转180°，
∴TB＝TB′，TE＝TE′，
∴四边形BEB′E′是平行四边形，
∴S△BET＝eq \f(1,4)S四边形BEB′E′＝eq \f(1,4)×12＝3，
∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝eq \f(1,2)×(3﹣2)×TQ＝eq \f(1,2)TQ，
∴TQ＝6，
∴3﹣t＝6，
∴t＝﹣3；
(3)设P(x，﹣x2﹣4x﹣3)，
①当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，
∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，
∴＝，
∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x＋3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，
∴＝，
化简得：x2＋5x＋5＝0，
解得：x1＝，x2＝(舍去)，
②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2＋5x＋5＝0，
解得：x1＝(舍去)，x2＝，
∴M点的坐标为(，﹣3)或(，﹣3)，
③当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，
得：△N3BP3也是等腰直角三角形，
∴N3B＝N3P3，
∴﹣x2﹣4x﹣3＝x＋3，
化简得：x2＋5x＋6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3(舍去)，
∴M点的坐标为(﹣2，﹣3)；
④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，
∴P4N4＝CN4，
∴﹣x＝﹣3﹣(﹣x2﹣4x﹣3)，
化简得：x2＋5x＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝0(舍去)，
∴M点的坐标为(﹣5，﹣3)，
综上所述：满足条件的M点的坐标为
(，﹣3)或(，﹣3)或(﹣2，﹣3)或(﹣5，﹣3)．
解：(1)将点A(﹣1，0)代入抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c中，
∴a＋2a＋c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．
当m＝2，n＝﹣3时，M(2，﹣3)，
∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；
(2)证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，
∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，
∴P(a，﹣4a)，
令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B(3，0)，
∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，
设M(m，am2﹣2am﹣3a)，
∴Q(m，2am﹣6a)，
∴QM＝2am﹣6a﹣(am2﹣2am﹣3a)＝﹣am2＋4am﹣3a，
∴S＝eq \f(1,2)|xB﹣xP|•QM＝﹣am2＋4am﹣3a＝﹣a(m﹣2)2＋a，
∵﹣a＜0，开口向下，
∴当m＝2时，S的最大值为a，
∵a＜2，
∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．
(3)解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，
∴直线l必经过点A(﹣1，0)，
将点A代入直线l：y2＝kx＋b，
∴﹣k＋b＝0，
∵直线l：y2＝kx＋b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，
∴k＝b＝2a，b＝﹣6a＋t＝2a，
∴t＝8a，
∴y2＝2ax＋2a，点C(0，2a)，
令2ax＋2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，
∴E(5，12a)．
①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，
∴△FEC∽△OCD，
∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝eq \f(1,2)或a＝﹣eq \f(1,2)(舍)；
∴t＝8a＝4≥4，符合题意；
②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，
∴△OCD∽△FDE，
∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝eq \f(\r(6),6)或a＝﹣eq \f(\r(6),6)(舍)，
∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；
③当∠CED＝90°时，显然不存在．
综上，存在，且t的值为eq \f(1,2)．
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，
∴，∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
(2)过点M作HG∥y轴，交x轴于点H，过点N作NG⊥HG交于点G，
∴∠AMH＋∠NMG＝90°，
∵∠AMH＋∠MAH＝90°，
∴∠NMG＝∠MAH，
∵AM＝MN，
∴△AMH≌△MNG(AAS)，
∴AH＝MG，HM＝NG，
设M(t，t2﹣2t﹣3)，
∴HM＝﹣t2＋2t＋3，NG＝t，
∴﹣t2＋2t＋3＝t，
∴t＝eq \f(1,2)±eq \f(\r(13),2)，
∵点M是抛物线上B，C之间，
∴0＜t＜3，
∴t＝eq \f(1,2)±eq \f(\r(13),2)，
∴M(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(13),2)，﹣eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(13),2))，
∴AH＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(13),2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(13),2)，
∴HG＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(13),2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(\r(13),2)＝2＋eq \r(13)，
∴N(0，﹣2﹣eq \r(13))；
(3)存在使△ACE'为直角三角形，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，
∵E(2，0)，
∴E'(2＋t，t)，
①如图2，当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，
∴∠ACO＋∠E'CH＝90°，
∵∠ACO＋∠CAO＝90°，
∴∠E'CH＝∠CAO，
∴△ACO∽△CE'H，
∴＝，
∵AO＝1，CO＝3，CH＝﹣3﹣t，E'H＝﹣2﹣t，
∴＝，
解得t＝﹣eq \f(7,2)，∴E'(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(7,2))；
②如图3，当∠CAE'＝90°时，
过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，
∴∠MAE'＋∠NAC＝90°，
∵∠MAE'＋∠ME'A＝90°，
∴∠NAC＝∠ME'A，
∴△AME'∽△CNA，
∴＝，
∵NC＝1，AN＝3，AM＝t，ME'＝3＋t，
∴＝，
解得t＝eq \f(3,2)，∴E'(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))；
当E'点与N重合时，△ACE'为直角三角形，
∴E'(﹣1，﹣3)；
③如图3，当∠AE'C＝90°时，
过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，
∴∠AE'S＋∠CE'T＝90°，
∵∠AE'S＋∠E'AS＝90°，
∴∠CE'T＝∠E'AS，
∴△ASE'∽△E'TC，
∴＝，
∵AS＝3＋t，SE'＝﹣t，CT＝2＋t，E'T＝t＋3，
∴＝，解得t＝﹣1，
∴E'(1，﹣1)；
综上所述：E'的坐标为(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(7,2))或(eq \f(7,2)，eq \f(3,2))或(1，﹣1)或(﹣1，﹣3)．
解：(1)在y＝x2＋2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，
∴C(0，﹣8)，
令y＝0，得x2＋2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A(﹣4，0)，B(2，0)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；
(2)设D(m，m2＋2m﹣8)，则E(m，﹣2m﹣8)，
∵点D在点E的下方，
∴DE＝﹣2m﹣8﹣(m2＋2m﹣8)＝﹣m2﹣4m＝﹣(m＋2)2＋4，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；
(3)∵y＝x2＋2x﹣8＝(x＋1)2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设F(﹣1，n)，又A(﹣4，0)，C(0，﹣8)，
∴AF2＝32＋n2＝n2＋9，AC2＝42＋82＝80，CF2＝12＋(n＋8)2＝n2＋16n＋65，
①当∠AFC＝90°时，
∵AF2＋CF2＝AC2，
∴n2＋9＋n2＋16n＋65＝80，解得：n1＝﹣4﹣eq \r(19)，n2＝﹣4＋eq \r(19)，
∴F(﹣1，﹣4﹣eq \r(19))或(﹣1，﹣4＋eq \r(19))；
②当∠CAF＝90°时，
∵AF2＋AC2＝CF2，
∴n2＋9＋80＝n2＋16n＋65，解得：n＝eq \f(3,2)，
∴F(﹣1，eq \f(3,2))；
③当∠ACF＝90°时，
∵CF2＋AC2＝AF2，
∴n2＋16n＋65＋80＝n2＋9，解得：n＝﹣eq \f(17,2)，
∴F(﹣1，﹣eq \f(17,2))；
综上所述，点F的坐标为(﹣1，﹣4﹣eq \r(19))或(﹣1，﹣4＋eq \r(19))或(﹣1，eq \f(3,2))或(﹣1，﹣eq \f(17,2))．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)令x＝0，则y＝eq \f(1,2)x＋1＝1，
∴OD＝1，
如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，
则∠COA＝∠PHO＝90°，
∴PH∥OC，
∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，
又Q是OP中点，
∴PQ＝OQ，
∴△PFQ≌△ODQ(AAS)，
∴PF＝OD＝1
设P点横坐标为x，则﹣x2＋2x＋3﹣(eq \f(1,2)x＋1)＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣eq \f(1,2)，
当x＝2时，y＝3，当x＝﹣eq \f(1,2)时，y＝eq \f(7,4)，
∴点P的坐标是(2，3)或(﹣eq \f(1,2)，eq \f(7,4))；
(3)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴OC＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
设M(a，eq \f(1,2)a＋1)，
∴CM2＝a2＋(3﹣eq \f(1,2)a﹣1)2＝eq \f(5,4)a2﹣2a＋4，DM2＝a2＋(eq \f(1,2)a＋1﹣1)2＝eq \f(5,4)a2，
①当∠CMD＝90°时，
∴CD2＝CM2＋DM2，
∴22＝eq \f(5,4)a2﹣2a＋4＋eq \f(5,4)a2，解得：a1＝eq \f(4,5)，a2＝0(舍去)，
当a＝eq \f(4,5)时，eq \f(1,2)a＋1＝eq \f(7,5)，∴M(eq \f(4,5)，eq \f(7,5))；
②当∠DCM＝90°时，
∴CD2＋CM2＝DM2，
∴22＋eq \f(5,4)a2﹣2a＋4＝eq \f(5,4)a2，解得：a＝4，
当a＝4时，eq \f(1,2)a＋1＝3，
∴M(4，3)；
综上所述：点M的坐标为(eq \f(4,5)，eq \f(7,5))或(4，3)．
解：∵A(﹣1，0)，
∴OA＝l，
在y＝ax2＋bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∴OC＝3，
∵BC∥x轴，
∴△AOD∽△BCD，
∴，
∴BC＝2，
∴B(2，﹣3)；
(2)把A(﹣1，0)，B(2，﹣3)代入y＝ax2＋bx﹣3，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
设P(1，m)，
∴PA2＝m2＋22＝m2＋4．
PC2＝(m＋3)2＋12＝(m＋3)2＋1．
AC2＝12＋32＝10．
∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，
当∠PAC＝90°时，PA2＋AC2＝PC2．
∴m2＋4＋10＝(m＋3)2＋1，解得m＝eq \f(2,3)；
当∠PCA＝90°时，PC2＋AC2＝AP2，
∴(m＋3)2＋1＋10＝m2＋4，解得m＝﹣eq \f(8,3)(不符合题意，舍去)．
∴P(1，eq \f(2,3))．