2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 图形周长问题（含答案）

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如图，顶点为A(eq \r(3)，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上，并过点B(0，1)，直线n：y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7，7)．
(1)求抛物线m的解析式；
(2)P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；
(3)抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为﹣8、2．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长= cm；
②求EP的长；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

如图，抛物线y=﹣x2﹣2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
(1)求A，B，C三点的坐标.
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积.
(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.
如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，6)，连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动.以P为顶点的抛物线y=(x﹣h)2＋k与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF.使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方.点P、Q同时出发，设运动时间为t．
(1)用含有t的代数式表示点P的坐标( ， )
(2)当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．
(3)当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．
(4)如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．
如图，直线y=x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，eq \f(1,2)CE的长为半径作圆，点P为直线y=x﹣3上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△BDP周长的最小值；
(3)若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于eq \f(3,2)CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，求四边形ABMN的面积．
如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)、B(3，0)，交于点C(0，﹣3)，设该抛物线的顶点坐标为D，连接AC．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使△PAC的周长最小，请求出点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点M，使S△MAC=2S△BCD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=eq \f(3,4)，且经过点A(2，1)，点P是抛物线上的动点，其横坐标为m(0＜m＜2)，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，交OA于点C．点O关于直线PB的对称点为D，连接CD、AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，△ACD的周长最小；
(3)若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)、B(5，0)两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q，过点Q作QF垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且QF=2，以QF、QP为邻边作矩形QPEF．设矩形QPEF的周长为d，点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分时m的值．
(3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围．
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时，直接写出其对称中心的横坐标．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线顶点为A(eq \r(3)，1)，设抛物线解析式为y=a(x﹣eq \r(3))2＋1，
将原点坐标(0，0)在抛物线上，
∴0=a(eq \r(3))2＋1∴a=﹣eq \f(1,3)．
∴抛物线的表达式为：y=﹣eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x．
(2)令y=0，得 0=﹣eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x，∴x=0(舍)，或x=2eq \r(3)
∴B点坐标为：(2eq \r(3)，0)，
设直线OA的表达式为y=kx，
∵A(eq \r(3)，1)在直线OA上，∴eq \r(3)k=1，∴k=eq \f(\r(3),3)，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=eq \f(\r(3),3)x．
∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=eq \f(\r(3),3)x＋b，
∵B(2eq \r(3)，0)在直线BD上，
∴0=eq \f(\r(3),3)×2eq \r(3)＋b，∴b=﹣2，
∴直线BD的表达式为y=eq \f(\r(3),3)x﹣2．
由得交点D的坐标为(﹣eq \r(3)，﹣3)，
令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为(0，﹣2)，
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2eq \r(3)=OD．
在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD．
(3)点C关于x轴的对称点C'的坐标为(0，2)，
∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，
∴PO∥DQ．
∴△C'PO∽△C'DQ．
∴，∴，
∴PO=eq \f(2,5)eq \r(3)，∴点P的坐标为(﹣eq \f(2,5)eq \r(3)，0)．
解：(1)∵抛物线y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上
∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a＋1，则有﹣9a＋1=0，解得a=eq \f(1,9)
∴A点坐标为(3，0)，抛物线m的解析式为y=eq \f(1,9)x2﹣eq \f(2,3)x＋1；
(2)∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(6，1)
∴连接EB′交l于点P，如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx＋b，把(﹣7，7)(6，1)代入得
解得，
则函数解析式为y=﹣x＋
把x=3代入解得y=，∴点P坐标为(3，)；
(3)∵y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与x轴交于点D，∴点D坐标为(7，0)，
∵y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)与抛物线m的对称轴l交于点F，∴点F坐标为(3，2)，
求得FD的直线解析式为y=﹣eq \f(1,2)x＋eq \f(7,2)，
若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，
设DQ的直线解析式为y=2x＋b，把(7，0)代入解得b=﹣14，
则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，
设点Q的坐标为(a，eq \f(1,9)a2﹣eq \f(2,3)a＋1)，
把点Q代入y=2x﹣14得eq \f(1,9)a2﹣eq \f(2,3)a＋=2a﹣14
解得a1=9，a2=15．
∴点Q坐标为(9，4)或(15，16)．
解：(1)∵函数y=ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为：﹣8，2，∴A(﹣8，0)、B(2，0)，即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，
∴OC=6，即C(0，﹣6)，
将A(﹣8，0)、B(2，0)代入y=ax2＋bx﹣6中，得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：y=eq \f(3,8)x2＋eq \f(9,4)x﹣6；
(2)①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，
当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=eq \f(1,2)BC，
在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，
∴BC=2eq \r(10)，
∴HK=eq \r(10)，即P的运动路程为：eq \r(10)；
②∠EPF的大小不会改变，理由如下：如图2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=eq \f(1,2)AD=PA，
∴∠PAE=∠PEA=eq \f(1,2)∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=eq \f(1,2)∠DPF，
∴∠EPF=∠EPD＋∠FPD=2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF=2∠EAF，
又∵∠EAF大小不变，
∴∠EPF的大小不会改变；
(3)设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE＋PF＋EF，
∵PE=eq \f(1,2)AD，PF=eq \f(1,2)AD，∴C△PEF=AD＋EF，
在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠EPG=eq \f(1,2)∠EPF=∠BAC，
∵tan∠BAC==eq \f(3,4)，∴tan∠EPG==eq \f(3,4)，
∴EG=eq \f(3,5)PE，EF=eq \f(6,5)PE=eq \f(3,5)AD，
∴C△PEF=AD＋EF=(1＋eq \f(3,5))AD=eq \f(8,5)AD，
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，
又S△ABC=30，∴eq \f(1,2)BC×AD=30，∴AD=3eq \r(10)，
∴C△PEF最小值为：eq \f(8,5)AD=eq \r(10)．
解：(1)① 6．
②设BE=x=ME，由勾股定理22+x2=(4﹣x)2得出BE=2.5，AE=1.5
由△EAM∽△MDP求出DP=eq \f(8,3)EP=eq \f(25,6)
(2)△PDM的周长保持不变．
(3)证明：如图，设AM=xcmcm，
Rt△EAM中，由，可得：．
∵∠AME+∠AEM=，∠AME+∠PMD=，∴∠AEM=∠PMD．
又∵∠A=∠D=，∴△AEM∽△DMP．
∴，即，∴
故△PDM的周长保持不变．
解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3可知点C(0，3)，
令y=0，则0=﹣x2﹣2x＋3，
解得x=﹣3或x=1，
∴点A(﹣3，0)，B(1，0).
(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=﹣1，
设点M的横坐标为m，
则PM=﹣m2﹣2m＋3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)=﹣2m2﹣8m＋2=﹣2(m＋2)2＋10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大.
∵点A(﹣3，0)，C(0，3)，
可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，当x=﹣2时，y=﹣2＋3=1，则点E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S=eq \f(1,2)AM·EM=eq \f(1,2).
(3)∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x＋3，得y=4，
∴点D(﹣1，4).
∴DQ=DC=.
∵FG=2DQ，
∴FG=4，
设点F(n，﹣n2﹣2n＋3)，
则点G(n，n＋3)，
∵点G在点F的上方，
∴(n＋3)﹣(﹣n2﹣2n＋3)=4，解得n=﹣4或n=1.
∴点F(﹣4，﹣5)或(1，0).
解：(1)∵点A的坐标为(8，6)，∴OA=10，
∵OP=5t，∴=，
∴x=4t，y=3t，
∴点P的坐标为：(4t，3t)；
(2)∵P(4t，3t)，
∴抛物线的解析式为：y=(x﹣4t)2＋3t，由对称性可得：BC=8t，
∵BC∥x轴，EF∥x轴，∴BC∥EF，
∴当BC=EF时，四边形BCFE为平行四边形，
∴8t=4，解得：t=eq \f(1,2)；
(3)当x=8t时，y=(8t﹣4t)2＋3t=16t2＋3t，
∴点C的坐标为(8t，16t2＋3t)，
根据题意得：点Q的坐标为：(8﹣4t，6﹣3t)，点E的坐标为(4﹣4t，2﹣3t)，
令8t=4﹣4t，解得：t=eq \f(1,3)
，此时：8t=8×eq \f(1,3)=eq \f(8,3)，6﹣3t=6﹣3×eq \f(1,3)=5，2﹣3t=2﹣3×eq \f(1,3)=1，
∵1＜eq \f(8,3)＜5，
∴当t=eq \f(1,3)时，点C落在DE上，令8t=8﹣4t，解得：t=eq \f(2,3)，
此时：8t=8×eq \f(2,3)=eq \f(16,3)，6﹣3t=6﹣3×eq \f(2,3)=4，2﹣3t=2﹣3×eq \f(2,3)=0，
∵0＜4＜eq \f(16,3)，∴当t=eq \f(2,3)时，点C不落在DE上；
综上可得：点C落在线段DE或QF上时，t=eq \f(1,3)．
(4)如图①，当点Q在CG上时，8t=8﹣4t，解得：t=eq \f(2,3)；
如图②，当点E在y轴上时，4﹣4t=0，解得：t=1；
如图③，当eq \f(2,3)＜t＜1时，QM=6﹣3t，DQ=4，则y=2QM＋2DQ=2(6﹣3t＋4)=20﹣6t；
如图④，当1≤t＜2时，QN=8﹣4t，QM=6﹣3t，y=2QN＋2QM=2(8﹣4t＋6﹣3t)=28﹣14t．
解：(1)直线y=x﹣3，令x=0，则y=﹣3，令y=0，则x=3，
故点A、C的坐标为(3，0)、(0，﹣3)，
则抛物线的表达式为：y=a(x﹣3)(x﹣1)=a(x2﹣4x+3)，
则3a=﹣3，解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+4x﹣3…①；
(2)过点B作直线y=x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y=x﹣3于点P，
直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，
则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，
D(2，1)，则点G(2，﹣1)，即：BG=EG，即点G是BB′的中点，过点B′(3，﹣2)，
△BDP周长最小值=BD+B′B=eq \r(2)+eq \r(10)；
(3)如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，
点A、B、C、E、F的坐标为(3，0)、(1，0)、(0，﹣3)、(2，0)、(﹣2，0)，
则CE=eq \r(13)，FQ=eq \f(1,2)CE，则PF=eq \f(3,2)CE﹣eq \f(1,2)CE=eq \r(13)，
设点P(m，m﹣3)，点F(﹣2，0)，
PF2=13=(m﹣2)2+(m﹣3)2，解得：m=1，故点P(1，﹣2)，
将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y=﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(4,3)…②，
联立①②并解得：x=，
故点M、N的坐标分别为：(，)、(，)，
过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，
则S四边形ABMN=S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM=．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x﹣3)，
∵抛物线过点(0，﹣3)，
∴﹣3=a(0＋1)(0﹣3)，∴a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴M(1，﹣4)．
(2)连接BC，与对称轴交于P点，
∵点A，B关于对称轴对称，
所以直线BC与对称轴的交点就是所求的点，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=1时，y=﹣2，
∴P点坐标为(1，﹣2)，
(3)如图，∵D(1，﹣4)，P(1，﹣2)，∴PD=2，
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，
∴S△BCD=S△BDP＋S△CDP=eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×1=3，∴S△MAC=2S△BCD=2×3=6，
∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∴直线AC解析式为y=﹣3x﹣3，AC=eq \r(10)
过点A作AM⊥AC，∴直线AM解析式为y=eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，
设N(m，eq \f(1,3)m＋eq \f(1,3))，(m＞﹣1)∴AN==|m＋1|
∵S△MAC=eq \f(1,2)×AC×AN=eq \f(1,2)×eq \r(10)×AN=6，∴AN=，
∴|m＋1|=，∴m=，或m=﹣(舍)，∴N(，)，
过点M作MN∥AC，∴直线MN解析式为y=﹣3x＋9①，
∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3②，
联立①②得，或，
∴P(3，0)，或(﹣4，21)．

解：(1)依题意，得
，解得
∴y=x2﹣eq \f(3,2)x
(2)m=1
(3)依题意，得B(m，0)
在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+(eq \f(1,2)m)2=eq \f(5,4)m2，∴OC=eq \f(\r(5),2)m．
又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=eq \f(\r(5),2)m
在RT△AOE中，OA=eq \r(5)
∴AC=OA﹣OC=eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)m
在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+(2﹣2m)2=4m2﹣8m+5
分三种情况讨论：
①若AC=CD，即eq \r(5)﹣eq \f(\r(5),2)m=eq \f(\r(5),2)m，解得m=1，∴P(1，﹣eq \f(1,2))；
②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．
∵0＜m＜2，∴m=，∴P(，﹣)；
③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2，解得m1=，m2=2．
∵0＜m＜2，∴m=，∴P(，﹣)
综上所述，当△ACD为等腰三角形是，
点P的坐标分别为P1(1，﹣)，P2(，﹣)，P3(，﹣)．
解：(1)把A(1，0)、B(5，0)代入y=ax2＋bx＋5，
， 解得，
∴y=x2﹣6x＋5；
(2)如图：∵抛物线y=x2﹣6x＋5的对称轴为：x=﹣=3，
∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1：2两部分，
可得PN=3﹣m，PE=2，
∴=或=，解得：m=eq \f(5,3)或m=eq \f(7,3)；
(3)当x=6时，y=x2﹣6x＋5=62﹣6×6＋5=5，∴点D的坐标为(6，5)．
射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1(x＞1)．
∴P(m，m2﹣6m＋5)，Q(m，m﹣1)．
当1＜m＜6时，d=2(﹣m2＋7m﹣6＋2)=﹣2m2＋14m﹣8，
当m＞6时，d=2(m2﹣7m＋6＋2)=2m2﹣14m＋16，
又d=﹣2m2＋14m﹣8=﹣2(m﹣)2＋，
∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4＜d≤．
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时，则矩形QPEF是正方形，边长为2，
当1＜m＜6时，m﹣1﹣(m2﹣6m＋5)=2，
整理得：m2﹣7m＋8=0，解得：m1=，m2=，
当m＞6时，m2﹣6m＋5﹣(m﹣1)=2，
整理得：m2﹣7m＋4=0，解得：m3=，m4=(舍去)，
故P点横坐标为：
＋1=， ＋1=， ＋1=．