湖南省岳阳市第十中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

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选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项.）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A.B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图一，∠1＝∠2，要说明∆ABD≌∆ACD，需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C C. DB＝DC D. AB＝AC
图一
5. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为米的碳纳米管，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 分式 2b-3 的值不能为零 B. 81=±9
C. 如果a=b，那么ac=bc D. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
图二
7. 如图二，在∆ABC中，∠B=55∘，∠C=30∘，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( )
A.65° B.60° C.55° D. 45°
8.一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为（ ）
A.8B.8或10 C.10 D.以上均不对
9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
图三
10. 如图三，在∆ABC中，，高AD与角平分线BE相交于点，的平分线AG分别交BC， BE于点G，，连接FG，下列结论：
①；②；③；④GF⊥AB，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③C．③④D．②③④
二、填空题：（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分.）
11. 化简x（x-1）2-1（x-1）2的结果是 .
12. 比较大小：33 27.
13. 一个正数的平方根分别是x + 1和x - 5，则x = ．
图四
14. 已知x+1x=6，则x2+1x2的值是___________.
15. 若关于x的分式方程 xx-3+a3-x=-1有增根，则a=________．
图五
16. 如图四，在∆ABC中，∠C=90°，过点E作AC的垂线DE，连接AD．若AD⊥AB，AD=AB，BC=3，DE=7，则CE的长为 ．
17. 如图，CE是∆ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= °．
18. 我们规定：在四边形中，O是边上的一点，如果∆OAB与∆OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG=90°，，， FG =3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 ．
三、解答题：（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
19. （6分） 计算： 12 -1+π-3.140-3-64+1-3
20. （6分）先化简，再求值：(x-1-3x+1)÷x2+4x+4x+1，其中 x=5．
21. （8分）解下列方程：
（1） （2）
22. （8分）如图，∆ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求证：AE＝BC．
23．（9分）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．
（1）求原计划每天铺设路面的长度；
（2）若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
24. （9分）规定（a，b）表示一对数对，给出如下定义： m=1a， n=b (a>0，b>0)，（m，n）与
（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如：数对（4，1）的一对“对称数对”为（12,1）与（1,12）．
（1）数对（9，4）的一对“对称数对”是 ；
（2）若数对（x，3）的一个“对称数对”是（3,1），则x的值是 ；
（3）若数对（a，b）一个“对称数对”是 (2，23），求a，b的值．
25. （10分）我们定义：如图1，在∆ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α ()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接B'C'．当时，我们称∆AB'C'是∆ABC的“旋补三角形”， ∆AB'C'边B'C'上的中线叫做∆ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

（1）【探索一】如图1， ∆AB'C'是∆ABC的“旋补三角形”，是∆ABC的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在∆ABC中，若， BC = 8．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在∆BCE中利用三角形三边关系即可求出BE的取值范围为EC﹣BC＜BE＜EC+BC．故中线的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
（2）【探索二】如图3，当时， ∆AB'C'是∆ABC的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是∆ABC的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
26. （10分）【初步感知】
（1）如图 1，已知∆ABC 为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B ，点C重合）．以为边向右侧作等边∆ADE，连接CE．求证：∆ABD ≌ ∆ACE；
【类比探究】
（2）如图 2，若点D在边的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：
①AB与CE的位置关系为： ；
②线段EC、AC、CD 之间的数量关系为： ．
【拓展应用】
（3）如图 3，在等边∆ABC中，，点P 是边AC上一定点且 ，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边∆DPE ，连接CE、BE．请问： 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．