湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1. 在长方体中，运算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. 8B. 1C. 16D.
3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C D.
4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
7. 已知分别是椭圆左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ）
A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1
B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1
D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1
10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ）
A. 椭圆的标准方程为
B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4
C 椭圆上恰有四个点M，使得
D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为
11. 如图，正方体透明容器棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 向量在向量上的投影向量为
C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 对于任意实数，的最小值为______．
13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________．
14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
（1）求点B的坐标；
（2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
16. 已知圆和，，．
（1）求过点且与圆M相切的直线方程；
（2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由．
17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为．
（1）求点A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值．
18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示．
（ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点；
（ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围．