湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试卷（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：沈宇为 审题人：胡立松
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知平面向量，，，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
故选：A
2. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解两个不等式，分别得到和，根据真包含关系，得到是的充分不必要条件.
【详解】，故，解得，
，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
3. 己知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解
【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合中的元素且，
则阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，即，
，即，
所以.
故选：C
5. 已知，都是锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，化切为弦得，代入即可求解.
【详解】由题意，又，
所以，即，
所以，所以.
故选：D
6. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】得到，为等边三角形，，变形得到，当三点共线，即时，取得最大值，最大值为6.
【详解】因为为的外接圆圆心，，
所以，
因为，所以为等边三角形，
故，
，
当三点共线，即时，取得最大值，
最大值为.

故选：B
7. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（ ）米．

A. 20B. 22C. 40D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】设，得到，，，并得到，根据得到，结合余弦定理得到方程，求出，得到筑物的高度.
【详解】设，因为，，，
所以，，，
因为，点为中点，
所以，点为中点，
故，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由于，故，
即，解得，
故建筑物的高度（米）.
故选：B
8. 设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，定义域R，得到为奇函数，即，求导，得到在R上单调递增，变形得到，从而，求出解集.
【详解】令，定义域为R，
，
故为奇函数，即，
，
故在R上单调递增，
，
故，
即，
所以，，
解得或.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数，，的导数为，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出的导数f′x即可判断A、B，表示出y=gx，利用导数的几何意义求出切线方程，即可判断C，利用作差法判断D.
【详解】对于A：因为，所以，则，故A正确；
对于B：因为，即，解得，故B错误；
因为，
则，所以，
则y=gx在点1,4处的切线方程为，即，故C正确；
当时gx=x2+3x>0，，
令，因为与均在0,+∞上单调递增，
则ℎx在0,+∞上单调递增，且，ℎ2=72>0，
所以存在使得，所以当时ℎx<0，当时ℎx>0，
所以，
所以当时，
所以，
当时，
所以，
综上可得当时，，故D正确.
故选：ACD
10. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 这个简谐运动的频率为，初相为
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 点是曲线的一个对称中心
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误.
【详解】由图知，由图象知，又，所以，
又由五点作图知，第三个点，所以，得到，所以.
对于选项A，设，由，得到，，
所以，故选项A错误，
对于选项B，因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，由，即，
所以不是曲线的对称轴，故选项C错误，
对于选项D，因为，由，得到，
令，得到，所以点是曲线的一个对称中心，故选项D正确.
故选：BD.
11 已知实数，满足，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，，所以，变形为，令，，故，根据函数单调性得到；B选项，时，，变形得到，构造，，则，求导得到的单调性，不单调，故不一定等于，即不一定成立；CD选项，由AB选项知，时，，，令，则有，不妨设，故，先证明出，从而得到，，故，，CD正确.
【详解】A选项，由得，因为，所以，
两边取对数得，，
故，
令，，故，
由于在0,+∞上单调递增，故，故，A正确；
B选项，时，，故，
故，
令，，则，
其中，
当时，，当时，，
故在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，B错误；
CD选项，由AB选项知，时，，，
令，则有，不妨设，
故，
下面证明，
先证不等式右边，，
令，即证，
令，，
则，
故在上单调递减，
又，故，所以，
即，，故，C正确；
再证不等式左边，，即证，
令，即证，
令，，则，
故在1,+∞上单调递减，
又，故，故，
即，所以，故，所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，为单位向量，且在上的投影向量为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量得到，先计算出，求出模长.
【详解】由题意得，故，
，
故.
故答案为：
13. 若实数，满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，求出、，再根据不等式的性质计算可得.
【详解】令，
所以，解得，
所以，
又，，
所以，即，
所以的取值范围为.
故答案为：
14. 设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．
【答案】2
【解析】
【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率.
【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限，
设，，
因为，所以，
故，
，
又，
故，解得，
由双曲线定义得，
故，，
又
，
又，故，故，
又，故，，故，
将代入中，得，
解得，所以的离心率为.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
【小问2详解】
如图，由题意及第（1）问知，，
且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，
故的面积的最小值为.

16. 已知函数，且恒成立．
（1）求的值；
（2）设，若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，其中，根据，求出，故，解得；
（2），，使得，则只需，求出，换元得到，分，和，求出，从而得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
，其中，
由于，，故，
所以，故，
，解得；
【小问2详解】
由（1）得，不妨取，故，
，，使得，
则只需，
其中时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，令，
故，解得，与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，，，使得，转化为，再进行下一步的求解.
17. 已知函数．
（1）若函数在上的最小值为，求的值；
（2）若，函数，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析含参函数y=f(x)在区间上的单调性，结合函数最小值，即可求得参数值；
（2）求得，令，利用导数研究其隐零点，从而判断的单调性，再结合隐零点满足的条件，即可求得函数的最小值.
【小问1详解】
因为，，故可得，，
①若，，y=f(x)在单调递减，的最小值为，不满足；
②若，
令>0，解得，故y=f(x)在单调递增；
令，解得，故y=f(x)在单调递减；
故y=f(x)的最小值为，即，解得，满足；
③若，，y=f(x)在单调递增，的最小值为，解得，不满足；
综上所述，.
【小问2详解】
若，，，
定义域为，，
令，，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，也即，且，
且当，，，在单调递减；
当，，>0，在单调递增；
故的最小值为；
由上述求解可知，，则，令，
则，故在单调递增；
，也即，又，故，即；
又.
故的最小值为.
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是进行二次求导，从而确定的单调性；二是熟练掌握隐零点问题的处理方法；三是能够根据，进行同构处理，进一步确定满足的具体条件；属综合困难题.
18. 已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，．
（1）求的方程；
（2）若，求面积的最大值；
（3）记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解，定点
【解析】
【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得椭圆方程；
（2）可知直线的斜率存在，设直线：，联立方程结合韦达定理可得，进而求面积，结合单调性求最值；
（3）可知直线的斜率存在，设直线：，联立方程结合韦达定理可得，假设过定点，根据数量积运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
若，可知直线的斜率存在，

设直线：，，
联立方程，消去y可得，
则，整理可得，
可得，
因为，则，
由，可得，
则，
整理可得，
则，
且，则，可得，
解得，且满足，
可知直线：过定点，
则面积，
令，则，可得，
因为在内单调递增，则，
所以当时，面积取到最大值.
【小问3详解】
若直线的斜率不存在，设，
可得，可得，
这与相矛盾，不合题意；
可知直线的斜率存在，设直线：，，

可得，
整理可得，
则，
且，则，可得，解得，
设以为直径的圆过定点Px0,y0，
则，
可得，
则，
整理可得，
则，
可得，
注意到上式对任意的均成立，则，解得，
所以以为直径的圆过定点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数．
（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．
【答案】（1）在上单调递减，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用多次求导的方法来判断出在上的单调性.
（2）利用多次求导的方法，结合恒成立，列不等式来求得的取值范围.
（3）根据（2）的结论，得到，求得的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的前项和公式证得不等式成立.
小问1详解】
在上单调递减，理由如下：
当时，，
，，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
【小问2详解】
当时，fx=sinx+ax3−x>0恒成立①，
当时，②，
，设ux=csx+3ax2−1x>0，
时，
，设，
当时，，
，
要使①恒成立，由于②，则需恒成立，
所以恒成立，所以，.
此时，
在0,+∞上单调递增，u′x=−sinx+6ax>0，
ux=csx+3ax2−1x>0在0,+∞上单调递增，f′x=csx+3ax2−1>0，
在0,+∞上单调递增，
使得fx=sinx+ax3−x>0恒成立.
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）可知，当，时，fx=sinx+16x3−x>0恒成立，
即时，恒成立，
下证：，
时，
，
由上述分析可知，，即，则，
所以
=2i+1sin12i+11−122i+2>2i+112i+1−16⋅23i+31−122i+2
=1−16⋅22i+21−122i+2=1−76×122i+2+16×124i+4>1−76×122i+2，
i=1n−1ki>n−1−76124+126+128+⋯+122n=n−1−76⋅1161−14n−11−14=n−1−718×14−14n
，即得证.
【点睛】思路点睛：
用导数分析单调性：首先对函数进行多次求导，通过分析导数符号来判断函数在不同区间的单调性，这一步为后续的不等式恒成立条件的推导奠定了基础.
结合不等式求参数范围：通过设定不等式恒成立，结合函数的单调性，逐步推导出参数 的取值范围.
利用等比数列和斜率关系进行证明：在小问3中，通过对等比数列的求和以及利用斜率条件，成功证明了所需的不等式.