2024-2025学年江苏省常州市新北区北郊中学八年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年江苏省常州市新北区北郊中学八年级（上）期中数学试卷 含详解，共17页。试卷主要包含了下列图形是轴对称图形的是，下列各组数中，是勾股数的一组是，下列整数中，最接近的是，16的平方根是 　 　等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB∥CDD．∠B＝∠CAB
3．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）
A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤5
4．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．，，
C．32，42，52D．8，15，17
5．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在△ABC的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）
A．△ABC三条高的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条边垂直平分线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称，∠CAE＝10°，连接BF，则∠ABF的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．20
二.填空题（每小题2分，共20分）.
9．16的平方根是 ．
10．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为 度．
11．如图，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠B＝75°，则∠F＝ °．
12．已知一个正数的两个平方根分别是x和x﹣6，则这个正数等于 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为 ．
14．如图，△ABC为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰直角三角形BCD，∠BCD＝90°，则∠BAD＝ °．
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是 ．
17．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于 ．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
三.解答题（共64分）
19．（8分）计算
（1）；
（2）．
20．（8分）求x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）（x+1）3＝﹣8．
21．（8分）如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，AC∥DF，求证：AC＝DF．
22．（8分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为5米，若它往水平方向向前推进了3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．
23．（6分）如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；
（2）在线段BC上求作一点E，使得∠AEB＝2∠C．
24．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．求四边形AEDF的周长．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求∠PDE的度数；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
26．（10分）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C处（如图2）．于是，由∠ACD＝∠C，∠ACD＞∠B，可得∠C＞∠B．
【感知】
（1）如图2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，则∠C′DB＝ °．
【探究】
（2）若将图2中AD是角平分线的条件改成AD是高线，其他条件不变（图3），即在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC，请探索线段AC、BC、CD之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），将△APC沿AP翻折，点C的对应点是点C′．若以B、C、C′为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BP的长度 ．
2024-2025学年江苏省常州市新北区北郊中学八年级（上）期中数学试卷
详细答案
一.选择题（每小题2分，共16分）.
1．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．【解答】解：A、添加AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；
B、添加AD＝BC，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；
C、添加AB∥CD，得出∠BAC＝∠DCA，利用AAS证明△ABC≌△CDA，符合题意；
D、添加∠B＝∠CAB，不能证明△ABC≌△CDA，不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：C．
4．【解答】解：∵0.3，0.4，0.5与，，三个数不是正整数，
∴这组数不是勾股数，
∴AB不符合题意；
∵92+162≠252，
∴这组数不是勾股数，
∴C不符合题意；
∵82+152＝172，
∴这组数是勾股数，
∴D符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：∵4＜＜5，且4.52＝20.25，
∴最接近的是4．
故选：C．
6．【解答】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：C．
7．【解答】解：∵△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称，
∴△AFG≌△ABC，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠AFG＝∠AGF＝70°，
∴∠BAC＝∠GDF＝40°，
∵∠CAE＝10°，
∴∠GAE＝10°，
∴∠BAF＝40°+10°+10°+40°＝100°，
∴∠ABF＝∠AFB＝40°．
故选：C．
8．【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等边三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周长为：18，
故选：C．
二.填空题（每小题2分，共20分）.
9．【解答】解：∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故答案为：±4．
10．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，两个底角相等，
∴底角的度数＝×（180°﹣50°）＝65°．
故答案为：65．
11．【解答】解：∵∠A＝55°，∠B＝75°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝50°，
故答案为：50．
12．【解答】解：∵一个正数的两个平方根是x和x﹣6，
∴x+x﹣6＝0，
解得x＝3，
∴x﹣6＝﹣3，
∴这个正数为（±3）2＝9，
故答案为：9．
13．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可得，AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴CD＝DH＝4，
∵AB＝25，
∴△ABD的面积为，
故答案为：50．
14．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ACD＝60°+90°＝150°，
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°，
故答案为：45°．
15．【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，
∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，
∴丁的面积为30+16﹣17＝29．
故答案为：29．
16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10，
∴CE＝AE＝BE＝AB＝5，
∵AD＝2，
∴DE＝AE﹣AD＝5﹣2＝3，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
故答案为：4．
17．【解答】解：设最小角为x，则最大角为x+45°，
当顶角为x+45°时，则x+x+x+45°＝180°，解得x＝45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积＝×2×2＝2；
当顶角为x时，则x+x+45°+x+45°＝180°，解得x＝30°，所以此三角形为顶角为30度的等腰三角形，如图，AB＝AC＝2，∠A＝30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝1，
∴三角形ABC的面积＝CD•AB＝×1×2＝1，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
故答案为1或2．
18．【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠QCF+∠CQF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠PCE＝∠CQF，
①当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图，
此时有AP＝2t cm，BQ＝3t cm，AC＝8cm，BC＝14cm．
当PC＝QC即8﹣2t＝14﹣3t，
解得t＝6，不合题意舍去；
②当4＜t＜5时，点P在BC上，点Q也在BC上，如图，
若PC＝QC，则点P与点Q重合，即2t﹣8＝14﹣3t，
解得t＝；
③当5≤t＜时，点P在BC上，点Q在AC上，如图，
当PC＝QC即2t﹣8＝3t﹣14，
解得t＝6；
④当≤t＜7时，点Q停在点A处，点P在BC上，如图，
当PC＝QC即2t﹣8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于或6或8时，以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：或6或8．
三.解答题（共64分）
19．【解答】解：（1）原式＝3+2﹣
＝；
（2）原式＝2+﹣1﹣1
＝．
20．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
，
x＝±；
（2）（x+1）3＝﹣8，
x+1＝﹣2，
x＝﹣3．
21．【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F．
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC．
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
22．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示，
根据题意得：AB＝AC＝5米，CF＝DE＝3米，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF2＝AC2﹣CF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4（米），
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1（米），
此时木马上升的高度为1米．
23．【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求；
（2）如图，点E即为所求．
24．【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AE+ED＝8，AF+DF＝6，
∴四边形AEDF的周长为8+6＝14，
故答案为：14．
25．【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∴∠CPD＝∠A+∠PDA＝2∠A，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴ED＝EB，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，
∴∠CPD+∠CED＝2（∠A+∠B）＝180°，
∴∠PDE＝360°﹣180°﹣90°＝90°；
（2）如图，连接PE，
∵AC＝6，PA＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE＝8﹣DE，
则PC2+CE2＝PD2+DE2，即42+（8﹣DE）2＝22+DE2，
解得：DE＝．
26．【解答】解：（1）∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∠B＝35°，∠C＝70°，
∴∠C＝∠AC′D＝70°，
∴∠C′DB＝∠AC′D﹣∠B＝70°﹣35°＝35°，
故答案为：35；
（2）BC＝AC+2CD，理由如下，
如图，将△ADC沿AD折叠，
∵AD⊥BC，
∴C点落在BD上的点C′处，
∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠AC′D＝∠C，
∵∠AC′D＝∠C′AB+∠B，∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BAC′
∴C′A＝C′B＝AC，
∴BC＝BC′+C′C＝AC′+2CD＝AC+2CD，
即BC＝AC+2CD；
（3）依题意，∵点P在BC上，以B，C，C′为顶点的三角形若为直角三角形，则点C不为直角顶点，分两种情况讨论，
①若∠C′BC＝90°，如图，过点C′作C′D⊥AC于点D，
∵AC′＝AC＝5，C′B⊥BC，AC⊥BC，
∴C′D＝BC＝4，
在Rt△ADC′中，，
∴C′B＝DC＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
设BP＝x，则PC＝PC′＝4﹣x，
在△BPC′中，PC′2＝BP2+BC′2，
（4﹣x）2＝x2+22，
解得，
即，
②若∠BC′C＝90°，如图，
∵PC＝PC′，
∴∠PCC′＝∠PC′C，
∴∠C′BC＝90°﹣∠PCC′，∠PC′B＝90°﹣∠PC′C，
∴∠PBC′＝∠PC′B，
∴PC′＝PB，
∴，
综上所述，BP＝或2．