山东省菏泽市定陶区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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注意事项：本试卷满分120分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．
1．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们的面积比为（ ）
A．2∶3B．4∶6C．4∶9D．6∶9
2．下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形D．两个等边三角形
3．已知在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．用反证法证明“若，则时”，应假设（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是的直径，弦于点E，，，则（ ）cm
A．2B．3C．5D．8
7．如图，为了测量某电子厂大楼AB的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为，则电子厂大楼AB的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m
8．如图，A，B，C，D是上的点，半径，，，连接AD，则扇形AOB的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），从图2闭合状态到图3打开状态，则点B，D之间的距离减少了（ ）
A．8mmB．15mmC．20mmD．25mm
10．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，在图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C，当点A运动到F时，点B到达D；若，，则下列结论正确的有（ ）个．
①；②；③当AB与相切时，；④当时，．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的位似图形是__________边形．
12．用表示这三个数中最小的数，则__________．
13．如图，是的内接三角形，，半径为3，则的长为__________．
14．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，测得灯塔C在北偏西的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为__________海里．
15．如图，在矩形ABCD中，，，点P沿AB边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当__________为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
16．如图，AB是的直径，AH是的切线，点C为上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若，，则AE的长为__________．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题每小题5分，共10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（本题满分9分）
在中，，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：；
（2）若，，求BD的长．
19．（本题满分9分）
如图，点P是的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若．
（1）求点P的纵坐标；
（2）求的其他三角函数值．
20．（本题满分10分）
如图，水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶，坡面AD的坡度i为1∶1，坡面BC的坡角为，坝高3m，，求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
21．（本题满分10分）
如图，AB是的直径，弦于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结CG，DG，．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）令，若，，求k的值．
22．（本题满分12分）
如图，AB是的直径，弦，垂足为H，连接AC，过上一点E作交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且，连接CE．
（1）求证：；
（2）求证：EG是的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，，求EM的值．
23．（本题满分12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）思考探究
如图1，在中，，，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
请完成填空：①__________；②__________；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）拓展应用
（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接CD并延长至点E，且，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
九年级数学参考答案
一、选择题（30分）
1．C2．A3．C4．B5．C6．D7．A8．A9．D10．B
10．解：如图1，由题意可得：
，，，，
，故①正确；
，故②错误；
如图2，当AB与相切时，，，
，故③正确；
当时，如图3，，
，，
，故④错误；正确的有2个
二、填空题：（18分）
11．八12．13．
14．15．或3s16．
15．解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当时，，那么有：，解得，
即当时，；
②当时，，那么有：，解得，
即当时，；
所以，当或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
三、解答题：（72分）
17．（10）计算：
（1）解：原式．
（2）解：原式．
18．（9 分）（1）证明：是斜边BC上的高，，
，，
又为公共角，；
（2）解：由（1）知，，，．
19．（9分）．解：（1）如图，过P作轴于M，则，
点P的横坐标为6，，
，，点P的纵坐标是8；
（2）在中，，，，
，，．
20．（10分）解：（1）如图，过C作于F，过D作于H，
则四边形CDHF是矩形，
，，
在中，坡度，，
在中，，，
，，
；
即坝底AB的长约为8.7m；
（2）此加固工程对古树没有影响，理由如下：
由题意得，，
，，
，，，
此加固工程对古树没有影响．
21．（10分）（1）解：连结AD，AC，如图，
是的直径，弦于点E，，
，．
，，；
（2）证明：连结AC，如图．
由（1）可得：是等边三角形，，
，，．
又，，
，即，；
（3）解：，，
是等边三角形，，
，，
，，
令，，则，，
，，即，
（舍去），，
，．
22．（12分）（1）证明：如图1中，
，，
，，，，
，．
（2）证明：如图2中，连接OE，
，，
，，
，，
，，是的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设的半径为r．
在中，，
，．
在中，，，，
，，
，，
，，，
，．
23．（12分）（12）解：（1）①，②，
（2）是直角三角形，
，，，
，，
由（1）得，
，，
，，，
是直角三角形；
（3），，
，，．
如图，以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，
延长CA到，使，交于，，，
，则，
，，，
点E在过点且与垂直的直线上运动，
过点B作，垂足为，即为最短的BE，连接，
，四边形是矩形，
在中可求得，．，
，
，
，
，
__________．
，
，
②__________