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专题12.4 模型构建专题：-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题12.4 模型构建专题：-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题原卷版docx、精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29489" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29489 \h 1
\l "_Tc8116" 【模型一 平移型模型】 PAGEREF _Tc8116 \h 1
\l "_Tc32252" 【模型二 轴对称型模型】 PAGEREF _Tc32252 \h 7
\l "_Tc31329" 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc31329 \h 12
\l "_Tc14184" 【模型四 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc14184 \h 16
\l "_Tc16858" 【模型五 三垂直模型】 PAGEREF _Tc16858 \h 23
\l "_Tc5472" 【模型六 旋转型模型】 PAGEREF _Tc5472 \h 34
\l "_Tc23535" 【模型七 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc23535 \h 41
\l "_Tc14288" 【模型八 截长补短模型】 PAGEREF _Tc14288 \h 51
【典型例题】
【模型一 平移型模型】
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，．
(1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
(2)请证明你的结论．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
（2）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
或利用证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
故答案为：①②，③；①③，②；
（2）证明：若选择的条件是①②，结论是③，
∵，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
若选择的条件是①③，结论是②，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∴．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．
【详解】，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行线性质，得到，再利用推出；
（2）由（1）全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理可求，由此可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28
【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
【详解】解：（1）由平移可得，，，
；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【模型二 轴对称型模型】
例题：（2024·云南·模拟预测）如图，，点 D 在上，点E 在上，．连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“”证明，即可得证．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：，，
，
又∵，
，
∴．
2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
，
．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，，垂足分别为、．交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等，角平分线．熟练掌握三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形面积计算公式，是解题的关键．
（1）先证明，得到，再根据角的平行线性质判定即可；
（2）由得到，证明，得到，即得．
【详解】（1）于D点，于点，
，
在和中，
，
，
，
．
平分，
．
（2），
在和中，
，
，
，
，
，
．
4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，连接，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用线段中点的定义得到，再证明得到；
（2）由（1）的结论得到，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，，，
，
．
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】
例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．
(1)
证明：，，，
，
又，
，
在和中，
，
．
(2)
解：如图，连接，
猜想、、之间的数量关系为：．
证明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
则，
即，
当时，仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．
【模型四 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和△CAF中，
∴；
应用
解：∵△ABE≌△CAF，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，
∴与的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．
（1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解；
（2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点B作于点F，即，
，
，，
.
，
.
.
在和中，，
.
.
，，
.
.
（2）解：.理由如下：
过点B作于点F，∴，
由（1）可得：，
.
，
，.
，
.
.
在和中，，
.
.
2.（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线m上，且．
(1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
(3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；
（2）由（1）同理可得，得，可得答案；
（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
由（1）同理可得，
∴，
∴；
（3）存在，当时，
∴，
∴，此时；
当时，
∴
∴，，
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)7
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
（1）证明，得到，利用，即可得到；
（2）证明，得到，利用，即可得到；
（3）证明，推出即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵，，
，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴（1）中结论仍然成立；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【模型五 三垂直模型】
例题：（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键．
（1）证即可求证；
（2）由（1）可得，据此即可求证．
【详解】（1）证明：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到；
（2）同（1）利用可证明，根据即可得到；
（3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度；
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（2）∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（3）如图，过作于，的延长线于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】
（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ．
（4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键．
（1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明；
（2）证明过程同（1）；
（3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解；
（4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（2），
证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（3）设，则，
∴
∵，
∴
∴；
（4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，
由（1）可得
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵面积为18
∴
∴，
∵的长为9，
∴，
∴
4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
∴∠AMB=90°，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3）10
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；
②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系；
（3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
，
∵，，
∴∠AMB=90°，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：10．
【模型六 旋转型模型】
例题：（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；
(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；
（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；
（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．
【详解】（1）证明：在中，∵，，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，且，
∴，
又∵是直角三角尺，
∴，即，
∴
在和中
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，，
∴，且由于是含45°直角三角尺，
∴，
∴
即
在和中
∴，
∴；
（3）解：作图正确（如图所示）
猜想：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：由旋转性质可知，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【模型七 倍长中线模型】
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，C为AB的中点.
证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则;
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点.
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，
在中，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．；B． ；C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断，即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长至点，使,连接．
是的中线，
,
在与中，
,
，
,
在中，，
即，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长至F，使连接，
是的中点，
∴,
又
∴，
，，
∵，
∴,
,
即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．
这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；
（2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于．
（3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长到点，使得，连接．
∵是边上的中线(已知)，
∴，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
．
（3）解：如图3，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
【模型八 截长补短模型】
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”．
李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图2，在上截取，连接，
只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立．
故答案为：；；；；；；
变式应用：．理由如下：
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1）如图1，，
理由如下：在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即．
理由：延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，
，，
，
，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．
大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29489" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29489 \h 1
\l "_Tc8116" 【模型一 平移型模型】 PAGEREF _Tc8116 \h 1
\l "_Tc32252" 【模型二 轴对称型模型】 PAGEREF _Tc32252 \h 7
\l "_Tc31329" 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 PAGEREF _Tc31329 \h 12
\l "_Tc14184" 【模型四 一线三等角模型】 PAGEREF _Tc14184 \h 16
\l "_Tc16858" 【模型五 三垂直模型】 PAGEREF _Tc16858 \h 23
\l "_Tc5472" 【模型六 旋转型模型】 PAGEREF _Tc5472 \h 34
\l "_Tc23535" 【模型七 倍长中线模型】 PAGEREF _Tc23535 \h 41
\l "_Tc14288" 【模型八 截长补短模型】 PAGEREF _Tc14288 \h 51
【典型例题】
【模型一 平移型模型】
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，和中，点在一条直线上，．
(1)给出以下3个条件：①，②，③从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．
(2)请证明你的结论．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】此题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行线的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
（2）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
或利用证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③；或条件是①③，结论是②；
故答案为：①②，③；①③，②；
（2）证明：若选择的条件是①②，结论是③，
∵，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
若选择的条件是①③，结论是②，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∴．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．
【详解】，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行线性质，得到，再利用推出；
（2）由（1）全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理可求，由此可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3）28
【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
【详解】解：（1）由平移可得，，，
；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【模型二 轴对称型模型】
例题：（2024·云南·模拟预测）如图，，点 D 在上，点E 在上，．连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“”证明，即可得证．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，，，垂足分别为B，D，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：，，
，
又∵，
，
∴．
2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
，
．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，，垂足分别为、．交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等，角平分线．熟练掌握三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形面积计算公式，是解题的关键．
（1）先证明，得到，再根据角的平行线性质判定即可；
（2）由得到，证明，得到，即得．
【详解】（1）于D点，于点，
，
在和中，
，
，
，
．
平分，
．
（2），
在和中，
，
，
，
，
，
．
4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，连接，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用线段中点的定义得到，再证明得到；
（2）由（1）的结论得到，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，，，
，
．
【模型三 四边形中构造全等三角形解题】
例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
(1)
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
(2)
∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
【答案】(1)见解析；
(2)CE+BG=EG，理由见解析；
(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．
【解析】
【分析】
（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．
(1)
证明：，，，
，
又，
，
在和中，
，
．
(2)
解：如图，连接，
猜想、、之间的数量关系为：．
证明：在和中，
，
，
，
又，
，，
由（1），可得，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
又，，
；
(3)
解：要使仍然成立，
则，
即，
当时，仍然成立．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．
【模型四 一线三等角模型】
例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【答案】探究：见解析；应用：6
【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；
应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．
【详解】探究
证明：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和△CAF中，
∴；
应用
解：∵△ABE≌△CAF，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，
∴与的面积之和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1.（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．
（1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解；
（2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点B作于点F，即，
，
，，
.
，
.
.
在和中，，
.
.
，，
.
.
（2）解：.理由如下：
过点B作于点F，∴，
由（1）可得：，
.
，
，.
，
.
.
在和中，，
.
.
2.（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线m上，且．
(1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
(3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；
（2）由（1）同理可得，得，可得答案；
（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
由（1）同理可得，
∴，
∴；
（3）存在，当时，
∴，
∴，此时；
当时，
∴
∴，，
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．
根据对材料的理解解决以下问题∶
(1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________
(2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)7
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
（1）证明，得到，利用，即可得到；
（2）证明，得到，利用，即可得到；
（3）证明，推出即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵，，
，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴，
∴（1）中结论仍然成立；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【模型五 三垂直模型】
例题：（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键．
（1）证即可求证；
（2）由（1）可得，据此即可求证．
【详解】（1）证明：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
【变式训练】
1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
(1)
∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
(2)
证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
(3)
∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到；
（2）同（1）利用可证明，根据即可得到；
（3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度；
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（2）∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
（3）如图，过作于，的延长线于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
【问题发现】
（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ；
【问题提出】
（3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ．
（4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键．
（1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明；
（2）证明过程同（1）；
（3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解；
（4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（2），
证明：由题意可得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，，
∴；
（3）设，则，
∴
∵，
∴
∴；
（4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，
由（1）可得
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵面积为18
∴
∴，
∵的长为9，
∴，
∴
4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
∴∠AMB=90°，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3）10
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；
②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系；
（3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
，
∵，，
∴∠AMB=90°，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：10．
【模型六 旋转型模型】
例题：（22-23八年级上·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；
(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；
（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；
（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．
【详解】（1）证明：在中，∵，，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，且，
∴，
又∵是直角三角尺，
∴，即，
∴
在和中
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，，
∴，且由于是含45°直角三角尺，
∴，
∴
即
在和中
∴，
∴；
（3）解：作图正确（如图所示）
猜想：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：由旋转性质可知，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
3．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【模型七 倍长中线模型】
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，C为AB的中点.
证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则;
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点.
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，
在中，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．；B． ；C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断，即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长至点，使,连接．
是的中线，
,
在与中，
,
，
,
在中，，
即，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长至F，使连接，
是的中点，
∴,
又
∴，
，，
∵，
∴,
,
即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．
这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．
【问题解决】
（2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；
（2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于．
（3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长到点，使得，连接．
∵是边上的中线(已知)，
∴，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
，
即：，
．
（3）解：如图3，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
【模型八 截长补短模型】
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例题：（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”．
李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图2，在上截取，连接，
只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立．
故答案为：；；；；；；
变式应用：．理由如下：
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（23-24七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1）如图1，，
理由如下：在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即．
理由：延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，
，，
，
，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．
大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
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