专题13.3 等腰三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27109" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27109 \h 1
\l "_Tc5381" 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 PAGEREF _Tc5381 \h 1
\l "_Tc32240" 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 PAGEREF _Tc32240 \h 3
\l "_Tc22076" 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 PAGEREF _Tc22076 \h 7
\l "_Tc24161" 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 PAGEREF _Tc24161 \h 12
\l "_Tc29765" 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 PAGEREF _Tc29765 \h 16
\l "_Tc17233" 【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】 PAGEREF _Tc17233 \h 23
\l "_Tc4344" 【过关检测】 PAGEREF _Tc4344 \h 29
【典型例题】
【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】
例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ；
（2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ．
2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ．
3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ．
【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ．
3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ．
【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ．
【变式训练】
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边的长为 ．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ．
【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】
例题：（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知中，，，若，则 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ．
2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，点是的平分线上的一动点，，的面积为48，则的最小值为 ．
3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】
例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．

(1)求证：．
(2)连接AD，求证：AD⊥BC．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，，交延长线于点．
求证：．
2．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．

(1)求证：；
(2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线．
3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于E，F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接．
求证：
(1)是等腰三角形．
(2)若．则________．
3.如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E．
(1)若，求的度数；
(2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形．
(3)若平分的周长，的周长为15，求的周长．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A．2个B．5个C．3个D．1个
3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（ ）
A．9B．12C．18D．6
4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边AB上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（ ）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③
二、填空题
6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．

7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ．
10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数．
12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．

13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，，
(1)若点D为边上的一个点，且，则__________；
(2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________．
14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．

(1)如图1，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，若的平分线交边于点，求证：；
15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，．
(1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：；
16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是

（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．