山东省泰安市新泰市2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省泰安市新泰市2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分.）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选项B、C、D中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故选：A．
2. 如图，在中，边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据高定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：D．
3. 下列图形中，与关于直线成轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A：MN不是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称；
B：MN是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN成轴对称；
C：MN不是、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称；
D：MN不是、、的垂直平分线，所以与△ABC关于直线MN不成轴对称.
故选：B．
4. 已知等腰三角形的一边长等于3，另一边长等于6，则它的周长等于（ ）
A. 12B. 12或15C. 15D. 15或18
【答案】C
【解析】当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，6，
∵，∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为6时，则该等腰三角形的三边长分别为3，6，6，
∵，∴此时能构成三角形，符合题意；
∴此等腰三角形的周长为.
故选：C．
5. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. 6，8，9D. 7，24，25
【答案】D
【解析】A.,不勾股数，不符合题意；
B.不是勾股数，不符合题意；
C. 不是勾股数，不符合题意；
D.是勾股数，符合题意.
故选：D.
6. 小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO=OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A. SSSB. ASA
C. SASD. HL
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
在和中，，
∴（ASA），
则证明的依据的是ASA．
故选：B．
7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，
则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，
故本选项不符合题意；
B．梯形面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，
则其面积为：，∴，
可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，
则其面积为：，∴，
∴，故本选项不符合题意；
D．大正方形边长无法确定，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意.
故选：D．
8. 如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（ ）
A. 12B. 9C. 8D. 6
【答案】B
【解析】如图，连接，
垂直平分，，，
中，，，，
，
，，，.
故选：B．
9. 如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则最小值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 1.5
【答案】B
【解析】当时，的值最小，
平分，，，，
，最小值为2.
故选：B．
10. 如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设梯子的长度为，则墙高为，
由勾股定理可得：，解得：，
梯子长度为.
故选：A．
11. 如图，D， E分别是， 边上的点，，若添加下列一个条件后，仍不能证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
在与中，，，
，，
在与中，，，A不符合题意；
在与中，，，B不符合题意；
在与中，，，C不符合题意；
D选项，结合已知只能得到角相等，不能得到边相等，所以不能够证明全等.
故选：D．
12. 如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵在纸片中，，∴，
由折叠的性质可得，
∴，平分，
∴的周长，故①②④正确；
根据现有条件无法证明，∴正确的只有①②④.
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果.）
13. 等腰三角形的底角是，则它的顶角是______．
【答案】20
【解析】∵等腰三角形的底角是，∴它的顶角是.
14. 的三边分别是a、b、c，且满足，则当__________时是直角三角形．
【答案】100或28
【解析】∵，∴a-8=0， b-6=0，解得∶ a=8， b=6，
∴当△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，，
当△ABC是以∠CAB为直角的直角三角形时，.
15. 如图甲，用一块边长为10 cm的正方形的厚纸板，做了一套七巧板.将七巧板拼成一座桥（如图乙），这座桥的阴影部分的面积是________.
【答案】50cm2
【解析】观察图形的变换得：S阴影=S正方形－2S大三角形= S正方形==50(cm2).
16. 如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______．
【答案】10
【解析】如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线为对称轴的对称点，
∴连接，，则直线即为的垂直平分线，∴ ，
∴，
连接交于点P，
∵点N为上的动点，∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，，
的最小值为的长度．
∵四边形为正方形，∴，，
，，即的最小值为10.
17. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为_________.
【答案】25cm
【解析】把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B′，
利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图所示：
∵AC=24，CB′=7，∴在Rt△ACB′，AB′=，∴最短路程为25cm．
18. 如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．
【答案】12
【解析】如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，AF=5，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的．
（2）在直线上找一点，使的长最短．
解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，点即为所求．
20. 如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
解：∵，AD是中线，，∴，，
∵，∴，∴，
∴的值为25°．
21. 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°．
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．
22. 如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长．
解：根据折叠，可知，
∵，∴，∴，∴，
设，
∵，∴，∴，
在中，根据勾股定理，得，解得．
所以，的长为．
23. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形.
（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB．
24. 在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）①若，求的度数为 ；
②若，的周长为，求的周长．
解：（1）∵的垂直平分线交于点D，∴，
∴是等腰三角形.
（2）①在中，
∵，，∴，
由（1）得，，
∴.
②∵的垂直平分线交于点D，，∴，
∵的周长为，∴，
∴的周长．
25. 如图1，点M为直线AB上一动点，，都是等边三角形，连接BN.
（1）求证：；
（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系不需证明；
（3）如图4，当时，证明：．
解：（1）证明：和是等边三角形，
，
，
．
在≌中，，≌，
．
（2）图2中；
图3中．
（3）证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
．