北京市第十二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份北京市第十二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
（满分100分，时间120分钟）
一、单选题（共20分，每题2分）
1. 北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【详解】解：点关于x轴的对称点为．
故选：A．
3. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 2，6，8B. 4，6，7C. 5，6，12D. 2，3，6
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可得．
【详解】A、，不能组成三角形；
B、，能组成三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，不能组成三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4. 如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是作图基本作图，根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意；
B．不是三角形的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是的边上的高，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 下列说法错误的是( )
A. 三个角都相等的三角形是等边三角形
B. 等腰三角形的中线就是角平分线
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质逐一判断及可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，则正确，故不符合题意；
B、等腰三角形底边上的中线就是顶角的角平分线，则错误，故符合题意；
C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，则正确，故不符合题意；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，则正确，故不符合题意；
故选B．
6. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．
【详解】正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
7. 如图，已知，则的度数为（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，
∴，，
故选项A、C正确，
∴，
∵，，
∴，
故选项B正确，
由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确．
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．
根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
故选：．
10. 如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和确定对角线的判定定理是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
，，．
，
．
①的结论正确；
在和中，
，
，
．
，
，
②的结论正确；
点是线段的中点，
．
，
，
，
，
③的结论正确；
，，
，
，
．
④结论正确．
综上，①②③④正确．
故选：D．
二、填空题（共20分，每题2分）
11. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为_____．
【答案】10##十
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于．根据任意多边形的外角和等于，多边形的每一个外角都等于，多边形边数外角度数，代入数值计算即可．
【详解】解：多边形的每一个外角都等于，
这个多边形的边数．
故答案为：10．
13. 已知点关于轴的对称点在第一象限则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点在第二象限是解题的关键．根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，先判断出点在第二象限，再列出不等式组并求解即可．
【详解】解：关于轴的对称点在第一象限，
点在第二象限，
，
解得不等式组的解集是，
故的取值范围为．
故答案为：．
14. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，
它的顶角的度数为：；
当的内角是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：，符合要求；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
15. 如图，，请添加一个条件不得添加辅助线，使得那么可添加条件为______
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
【详解】解：∵，，
∴添加条件或，根据可以判定；
添加条件或，根据可以判定；
故答案为：（答案不唯一）．
16. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．
【详解】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
17. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．

【答案】9
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解.
【详解】∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=30°，
又∵AD⊥AC，AD=3
∴∠DAC=90°，CD=6
勾股定理得AC=AB=33，
由图可知△ABD∽△BCA，
∴BC=9
【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键.
18. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可．
【详解】解：如图，由题意，得，，
，
，
，
，
故答案为：
19. 台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图（1），目标球从点出发经点到点，相当于从点出发直接击打目标球，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置．
如图（2），小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点2,0处，仍按原来方向击球，那么在点，，，，，，，中，小球会击中的点是_______________．
【答案】点B和点F
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，根据轴对称的性质画出小球从起始点2,0处出发的路径，即可求解．
【详解】解：如图所示，即为小球的运动轨迹，
∴小球会击中的点是点B和点F，
故答案为：点B和点F．
20. 已知，点P为内一点，点A为OM上一点，点B为ON上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______________．
【答案】80°
【解析】
【分析】如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即可得到△PAB的周长取最小值时的情况，并且求出∠APB度数．
【详解】解：如图，
分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，
∴△PAB即为所求的三角形，
根据对称性知道：
∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，
还根据对称性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，
而∠MON=50°，
∴∠P1OP2=100°，
∴∠AP1O=∠BP2O=40°，
∴∠APB=2×40°=80°．
故答案为80°．
三、解答题（共60分，第21-22题，每题5分，第23-28题，每题6分，第29-30题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
21. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由条件证得，由全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）是解题关键．
22. 如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．
【答案】．
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义可得，从而可得，，，然后根据线段和差可得，根据平行线的性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质即可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．
23. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．
已知：∠AOB
求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB
作法：如图，
①在射线OB上任取一点C；
②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D，交OB于点E，连接DC．
所以∠ADC即为所求的角
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）
证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝________（____________）．
∴∠AOB＝_______（_________）．
∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
【答案】（1）见解析；（2）CD；线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等；；等边对等角
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到OD＝CD，则根据等腰三角形的性质得到∠AOB＝．然后根据三角形外角性质得到∠ADC＝2∠AOB．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示．
（2）证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，
∴OD＝CD（线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等）．
∴∠AOB＝（等边对等角）．
∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO，
∴∠ADC＝2∠AOB．
故答案为：CD；线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等；；；等边对等角．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24. 如图，在6×7的正方形网格巾，每个小正方形的边长都为1，网格中有 一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出与关于直线l对称的；
（2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积= ．
（3）在直线上找一点P．使的长最短．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知轴对称图形对应点到对称轴上一点的距离相等是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）连接交l于P，点P即为所求．
小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解；由题意得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图所示，点P即为所求；
连接交l于P，
由对称性可得，则，
∴当三点共线时，最小，即的长最短．．
25. 小李和小夏学习了等腰三角形后，知道了：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，这时小李提出：不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎么样呢？大边所对的角也大吗？于是她们对这个问题进行了探究：
她们在查阅资料后发现，早在古代的时候，前人在《几何原本》中就记载了“在任意三角形中，大边对大角”．经过思考，小李的探究思路是：如下图，在中，如果，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点．利用上述结论，回答下面的问题．
（1）小李的探究思路可以证明吗？如果能，请你根据题意补全图形，并证明；如果不能，请你说明理由．
（2）根据以上证明的结论，回答下面问题：
①在中，已知，请你直接写出，，有怎样的大小关系？
②在中，已知，且，那么是_____（填锐角、钝角或直角）三角形．
【答案】（1）能，补全图形见解析，证明见解析
（2）①;②锐角
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、三角形的边角关系等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
实验与探究：由翻折变换的性质和三角形的外角性质即可得出结论；
（1）由（1）的结论即可得出答案；
（2）由（1）的结论进行证明即可得出答案．
【小问1详解】
解：能，补全图形如下：
证明：将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点，
．
，
，
；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
，
；
②解：如图所示：
，
，
，
，
是锐角三角形．
故答案为：锐角．
26. 如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（）过点作于点，根据全等三角形的判定和性质定理以及平分线的性质即可得到结论；
（）证明，再根据性质可得，最后由线段和差即可．
【小问1详解】
如图，证明：过点作于点
∴，
∵，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，
∴平分
【小问2详解】
由（）得：，，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
27. 如图，在中，D为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出，根据可以证明；
（2）根据三角形三边关系得出，即可得出，根据，，求出结果即可．
【小问1详解】
证明：延长至点E，使，连接，
∵D为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
28. 如图，，，，的延长线于点．
（1）求证：；
（2）用等式表示线段与之间数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）先证明，由对顶角相等可得，可得出，最后由可得结论；
（2）延长交于点F，先证明，可得，再证明可得再证明即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：理由如下：
如图，延长交于点F，
，
在和中
，
，
在和中
，
29. 已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点．

（1）根据题意补全图形；
（2）如图，如果，
①_____；（用含有的代数式表示）
②用等式表示线段，与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①；②；证明见解答．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
②结论：；在上截取，使得，连接，；证明，推出，推出，可得结论．
【小问1详解】
解：图形如图1所示：
【小问2详解】
解：①线段与线段关于直线对称，
，垂直平分线段，
，
是等边三角形，
，，
，，
．
故答案为：；
②结论：；
理由：在上截取，使得，连接，．

，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
线段与线段关于直线对称，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称为的关联点．

（1）在，，中，关联点是_____；
（2）如图2，若为内一点，且为的关联点，
当_____时，；此时，_____；
（3）直线为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）30，15 （3）
【解析】
【分析】（1）根据Ax1,y1、和Bx2,y2之间的距离公式以及关联点定义解答即可；
（2）由题意易知，进而可求得，则可得出，根据等角对等边和关联点定义即可证得结论；
（3）由题意，在关联点P满足或或三种情况，分别讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，关于y轴对称，点在y轴上，
，故是的关联点；
， ，
，故是的关联点；
， ，
， ，
∴故不是的关联点，
综上，的关联点是、，
故答案为：、；
【小问2详解】
解：∵点，，C0,6，
，，，
，
若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意；
若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外， 不合题意；
若，则，
设，
，，
，
，
，
，
故答案为：30，15；
【小问3详解】
解：由题意，的关联点P满足或或三种情况，
若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，
若，则点P在线段的垂直平分线上；
若，则点P在以点A为圆心，即长为半径的圆上，
如图，设的中点为G，则G的坐标为，
由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个关联点，
∴m的取值范围为．
【点睛】本题考查两点之间距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．