北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了11， 设全集，集合，，则集合， 函数f＝x是， 设向量满足，，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

2024.11
（试卷满分150分；考试时长120分钟）
一､选择题（共10个题，每题4分，计40分）
1. 设全集，集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的补集、并集运算求解即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，.
故选：D
2. 函数f(x)＝x是（ ）
A. 奇函数，且值域为（0，+∞）
B. 奇函数，且值域R
C. 偶函数，且值域为（0，+∞）
D. 偶函数，且值域为R
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.
【详解】根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，
其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其图象大致如图：

其值域为R；
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题
3. 已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】求得位置关系判断选项A；求得位置关系判断选项B；求得位置关系判断选项C，D.
【详解】选项A：若，则或异面或相交.判断错误；
选项B：若，则或.判断错误；
选项C：若，则或相交.判断错误；
选项D：若，则必有，
又，则，则.判断正确.
故选：D
4. 已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于中心对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间内有个零点
D. 函数在区间上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性可判断A，C选项的正误；在区间上解方程，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，当时，，
当时，，解得或或或，
故函数在区间内有个零点，C正确；
D选项，由，，解得，
所以单调递增区间为，，
令，得，，得，
所以在区间上不是单调递增的，D错误．
故选：C．
5. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】，则，，
又、，，.
可得：ABC成立，D不成立.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.
6. 设向量满足，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
两边平方，得出关于的二次函数，从而得出最小值.
【详解】解：
∴当时，取得最小值.
故选：B
【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.
7. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.
8. 设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】充分性：设等比数列的公比为，
若，
情形一：当时，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列；
情形二：当，由得，
解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列；
必要性：反之，若为递增数列，则，
所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
9. 中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.
【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得，
即，两边同时取对数，得，
所以.
故选：B
10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合）．则下面结论中错误的是
A. 存在点，使得平面∥平面
B. 存在点，使得平面
C. 分别是△在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点，
D. 对任意点，△的面积都不等于
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】对于A，因为平面平面，所以，当直线交平面于点时，有
平面，所以，A正确．
对于B，可证明平面，所以，当直线交平面于点时，有平面，B正确；
对于C，因为设，（其中），则△在平面的正投影面积为；又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，所以，若，则，解得或，因为，所以，故存在点，使得；C错误；
对于D，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，取中点，连结，在正方体中，易证平面，平面，因此，，，所以可得平面，因此，； 又平面，所以，所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；
因为在正方体中，易知，又，
所以，
因此，；所以对任意点，△的面积都不等于,D正确.
故选C
【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记位置关系，以及线面垂直、面面平行的判定等即可，属于常考题型.
二､填空题（共6个题，每题4分，计24分）
11. 若直线:与直线:平行,则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据两直线平行的性质，即可求解，同时要排除重合的情况.
【详解】因为直线:与直线:平行，所以，解得 或，当时，与重合，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了两条直线平行的位置关系的判定，属于中档题. 解题时注意平行关系,要防止两条直线重合.
12. 在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项.
【详解】由的展开式的通项为，
令，，则，
即在的展开式中，常数项为，
故答案为：.
13. 在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.
【答案】 ①. 9 ②. 5.
【解析】
【分析】
设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出.
【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2＝16，a5＝1，
∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，
解得：a1＝9，d＝﹣2.
∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.
令an＝11﹣2n≥0，
解得n5.
∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.
故答案为：9；5.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.
14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，利用坐标法求出、，即可求出的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则，，，，
因为，所以，
所以，，，
所以，，因为，
所以，解得或（舍去），
所以，，所以.
故答案为：；
15. 颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．
该研究小组得到以下结论：
①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
先根据题意分析得直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小，再看图逐一分析结论即可.
【详解】依题意，，知直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小. 看图分析如下：
在第1种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最大，故最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；
在第2种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最小，故最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；
在第1次和第2次测试中，直线斜率大于斜率，，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，斜率大于直线，斜率，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
16. 设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______.
【答案】③④
【解析】
【分析】取，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数f(x)的值域，可判断①的正误；当时，可以否定②；考虑时，求得函数f(x)的值域，即可判断③；当时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数f(x)的图象，即可判断④.综合可得出结论.
【详解】对于①，可取，则，
当时，；
当时，，当且仅当时，取得等号，
故时，f(x)的值域为R，
∴，都有解，故①错误；
对于②，当时，由于对于任意,无解；
时，，对任意的,至多有一个实数根，故②错误；
对于③，当时，时，单调递减，可得；
又时，，即有.
可得，则f(x)的值域为，
∴，都有解，故③正确；
对于④，当时，时，递增，可得；
当时，，当且仅当时，取得等号，
由图象可得，当时，有三解，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题.
三､解答题（共6个大题，共计86分）
17. 在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1）的值；
（2）的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选择条件①；选择条件②；选择条件③不合题意.
（2）选择条件①；选择条件②.
【解析】
【分析】（1）选条件①时，直接利用余弦定理的应用求出a的值；选条件②时，利用正弦定理的应用求出a的值；选条件③时，由于出现与已知条件中三角形有一解相矛盾，故舍去.
（2）选条件①时，利用勾股定理证明为直角三角形，可求出三角形的面积；
选条件②时，利用三角函数的关系式求出，应用三角形面积公式的求出结果．
【小问1详解】
（1）选择条件①，
，由于，，
所以，解得；
选择条件②，
，由于，，
由正弦定理，.
选择条件③，
，由正弦定理，得，
此时或，三角形不唯一，不合题意．
【小问2详解】
选择条件①，
，由，则，满足，
故为直角三角形，所以；
选择条件②，
，在中，，
所以.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为， 的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由线面平行的判断定理，即可证明；
（Ⅱ）首先由面面垂直的性质定理，转化为线面垂直，即平面，即可证明线线垂直；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结果，即是所求线面角，内计算正弦值.
【详解】证明：（Ⅰ）在△中，M，N分别为VA，VB的中点，
所以为中位线.
所以.
又因为平面，平面，
所以平面
（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，，
所以.
因为平面平面，平面平面， 平面，
所以平面.又因为平面，
所以.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，
直线与平面所成角为，
因为是等腰直角三角形，，所以,
所以
所以
19. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图：
（I）求a的值；
（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由．
【答案】（I）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）不正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（I）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a的值
（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在和的无人驾驶汽车数量，的所有可能取值为，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.
（Ⅲ）由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响， 这种说法不正确.
【详解】（I）由题意可知:，所以；
（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为，若使用分层抽样抽取10辆汽车，
则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，
则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，
有题意可知：的所有可能取值为
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：
由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响.
因此有可能更接近，也有可能更接近，
所以不恒成立，所以这种说法不正确.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.
20. 已知函数.（ ）
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立．
【答案】（Ⅰ）时，单调增区间为，无单调减区间，
时，单调增区间为，单调减区间为.
（Ⅱ）（Ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对求导，得到，对按照和进行分类讨论，研究的正负，从而得到的单调区间；（Ⅱ）将代入，得到切线斜率，点斜式写出切线方程；（Ⅲ）令，得到，令，得到，从而得到，得到在上单调递增，即，从而使得原命题得证.
【详解】解：（Ⅰ），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：
所以时，在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，单调增区间为，无单调减区间，
时，单调增区间为，单调减区间为.
（Ⅱ）时，
令，得，则，
因为，所以，
所以在点处的切线方程为，即.
（Ⅲ）证明：令，
则.
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
所以，
即恒成立.
所以在上单调递增，
所以，
所以，
即当时，恒成立．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.
21. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1.
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）证明：函数在区间内有唯一极值点；
（2）当时，证明：对任意，.
【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把代入导函数中使其值等于零，可求出a的值；
（ⅱ）令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，，，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；
（2）由（1）可知，在内单调递增，在内单调递减，当时，，，所以分两类讨论：（i）若，易证在内单调递增，，符合题意，（ii）若，可得在区间内有且只有一个零点，记为，而函数在内单调递增，在内单调递减，可得，符合题意.
【详解】（1）（ⅰ）因为，
所以.
因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，即，故.
经检验，符合题意.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，.
设，则
令，又，得.
当时，﹔当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减.
又，，，
因此，当时，，即，
此时在区间上无极值点；
当时，有唯一解，即有唯一解，
且易知当时，，当时，，
故此时在区间内有唯一极大值点.
综上可知，函数在区间内有唯一极值点.
（2）因为，设，则.
令，又，得.
且当时，﹔当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减.
当时，，，.
（i）当，即时，.
此时函数在内单调递增，﹔
（ii）当，即时，
因为， ，
所以，在内恒成立，而在区间内有且只有一个零点，记为，则函数在内单调递增，在内单调递减.
又因为，，所以此时.
由（i）（ii）可知，当时，对任意，总有.
【点睛】此题考查利用导数研究函数切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.
22. 已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质.
（1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）
①；
②.
（2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；
（3）已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式.
【答案】（1）①具有，②不具有
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据定义代入计算可得；
（2）先证明充分性，依题意可得，即可得到，从而得到，再证必要性，即数列为常数列，根据定义证明即可；
（3）首先证明：，然后利用反证法证明：，即可得到，结合即可得解.
【小问1详解】
①，对于，，所以数列具有“性质”；
②，对于，，
故，所以数列不具有“性质”．
【小问2详解】
证明：先证“充分性”：
当数列具有“性质”时，有，
又因为，
所以，
进而有
结合有，
即“数列为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列为常数列”，
则有，
即“数列具有“性质”．
【小问3详解】
首先证明：．
因为具有“性质”，
所以．
当时，有．
又因为，且，
所以有，，
进而有，
所以，
结合可得：．
然后利用反证法证明：．
假设数列中存在相邻的两项之差大于3，
即存在满足：或，
进而有
．
又因为，
所以
依此类推可得：，矛盾，
所以有．
综上有：，
结合可得，
经验证，该通项公式满足，
所以．








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0
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减
极小值
增