黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的离心率（ ）
A.与m有关，但与n无关B.与m有关，且与n有关
C.与m无关，但与n有关D.与m无关，且与n无关
2.若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ）
A.B.C.D.
3.一个电子产品由A，B两部分元器件组成，两部分有任何一部分损坏，该产品就无法正常工作.若使用1年后，A部分损坏的概率为0.1，B部分损坏的概率为0.05，且这两部分损坏与否相互独立，则该电子产品使用1年后无法正常工作的概率为（ ）
4.已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A.B.C.D.
5.若双曲线的左、右两焦点分别为，，其渐近线上存在点P满足，，则此双曲线渐近线的方程为（ ）
A.B.C.D.
6.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A.6B.7C.8D.9
7.已知A，B是圆上的两个动点，点，且，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.若椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，且P在第一象限，的内心为I，直线与直线的斜率分别为、，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（ ）
A.取出的球颜色全不相同的概率为B.取出的球颜色不全相同的概率为
C.取出的球恰有2次红球概率为D.取出的球无红球的概率为
10.已知点，圆和圆，过圆上一点P作圆的两条切线，，圆E为的外接圆，则（ ）
A.圆E的半径为定值
B.圆E一定与圆相切
C.的值可能等于2
D.当点P的坐标为时，直线的方程为
11.平面内到两个定点距离之积为定值的点的轨迹被称为“卡西尼卵形线”.若，是平面内的两个定点，平面内满足的动点P的轨迹为曲线C，则（ ）
A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.动点P的横坐标的取值范围是
C.的取值范围是
D.面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.抛物线的准线方程是______.
13.当点到直线的距离最大时，实数______.
14.已知椭圆，过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若点B在线段上，则______.
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.
15.（本题满分13分）
甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局.
（1）求再赛两局比赛就结束的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.
16.（本题满分15分）
已知抛物线，过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，且的最小值为4.
（1）求p的值；
（2）若线段的中点为M，O为坐标原点，直线的斜率为，求直线的方程.
17.（本题满分15分）
如图，在三棱台中，，，N为的中点，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若A到平面的距离为，求的值.
18.（本题满分17分）
已知椭圆的右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点（其中点A在x轴的上方），点M，N分别为椭圆C的左、右顶点.
（1）若的垂直平分线交x轴于点D，O为坐标原点.求的取值范围；
（2）若直线和相交于点T，试探究T能否在一条定直线上运动？若能，求出t的值，若不能，请说明理由.
19.（本题满分17分）
如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）求证：；
（3）若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围.
高二数学学科参考答案及评分标准
一、1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A
1.A 【解】双曲线的标准方程为，它的焦点在y轴上，离心率，它与n无关，与m有关，故选A.
2.B 【解】设等边三角形的边长为a，则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，故选B.
3.D 【解】所求概率为，故选D.
4.D 【解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，，由可知圆内含于圆，设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得，故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，所以，，所以椭圆方程为，故选D.
5.C 【解】因为，所以，所以，又因为在中，，则，
即其中一条渐近线的斜率，因此双曲线的渐近线的方程为，故选C.
6.A 【解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为，过点P作准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以，所以，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选A.
7.B 【解】设的中点为C，则，因为，
所以要使最大只需最小，由，得，所以，设，则，整理得，所以C轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即O在此圆内，故，所以，故.故选B.
8.A 【解】设，，则，易知，由椭圆焦半径公式可得，，设A，B，M分别为的内切圆与边，，的切点，则，根据内切圆的性质知，，，因此，即，解得.在中，，解得，因此，所以，故选A.
二、9.AC 10.ABD 11.ABD
9.AC 【解】取出的球颜色全不相同的方法有6种，总的取球方法有27种，因此取出的球颜色全不相同的概率为，选项A正确；取出的球颜色全相同的方法有3种，因此取出的球颜色不全相同的方法有种，因此取出的球颜色不全相同的概率为，选项B错误：取出的球恰有2次红球的方法有6种，总的取球方法有27种，因此取出的球恰有2次红球的概率为，选项C正确；取出的球没有红球的方法有8种，总的取球方法有27种，因此取出的球没有红球的概率为，选项D错误，故选AC.
10.ABD 【解】因为，，所以的外接圆就是以为直径的圆，因为点C是圆的圆心，所以为定值，即圆E的半径为定值，选项A正确；又因为圆E的圆心E是的中点，所以圆E和圆的圆心距等于两圆的半径之差，所以圆E一定与圆相切，选项B正确；因为圆的直径为2，所以的值不可能等于2，选项C错误；当点P的坐标为时，点E是的中点，点E坐标为，圆E的方程为，直线就是圆和圆E的公共弦所在直线，将两圆方程相减，即可得直线的方程为，选项D正确，故选ABD.
11.ABD 【解】令，则，所以，则，将、、代入上述方程后，均有，所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项A正确；由可得，由可得，即，整理，得，即，，选项B正确；由，因为，所以，的取值范围是，选项C错误：因为，所以令，则
，因为，所以，得，又因为，所以面积的最大值为，选项D正确，故选ABD.
三、12. 13. 14.
12. 【解】抛物线化标准方程为，其准线方程是.
13. 【解】因为直线方程可变形为，
由，解得，，由此可得直线系恒过定点，P到直线的最远距离为，此时直线垂直于，因为，所以直线的斜率为2，由可解得.
14. 【解】右焦点，设直线，，，则
，由可得，所以，，所以.
四、15.【解】用表示事件“第i局甲胜”，表示事件“第j局乙胜”（i，，4，5），
（1）设“再赛两局结束这次比赛”为事件A，……1分
则
故再赛两局结束这次比赛的概率为0.52.（或者写成）.……6分
（2）设“甲获得这次比赛胜利”为事件B，……7分
则
故甲获得这次比赛胜利的概率为0.352.（或者写成）……13分
16.【解】（1）设，，直线的方程为，……1分
将其代入抛物线方程得，，，……3分
由
，……5分
因为，所以当时，取最小值，……7分
所以，解得.……8分
（2）设，则，，……10分
所以，整理得，解得或，……13分
直线的方程为或.……15分
17.【解】（1）取的中点为M，连接，，因为，且，所以四边形为等腰梯形，又因为M，N分别为，的中点，所以，……1分
因为，所以，因为，且，平面，
所以平面，……3分
又平面，所以.……4分
（2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为，……5分
当时，即，棱台的高等于.……6分
由，，可得，……7分
又因为此棱台的上、下底面面积分别为，，
所以棱台的体积为.……9分
（3）由（1）知，，以M为坐标原点，分别以，所在直线为x，y轴，过点M作垂直于平面的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，……10分
可得，，，，，
因为，可得，……11分
设平面的一个法向量为，
因为，，所以
，
令，则，，可得，……13分
因为，所以A到平面的距离为，
即，可得，整理得，
解得或，又，可得.……15分
18.【解】（1）因为右焦点F的坐标为，可设直线的方程为，代入，得，……1分
所以，，
设中点G的坐标为，则，……3分
的垂直平分线方程为，
令，可得……5分
所以，即的取值范围是.……7分
（2）因为，，，，
则直线的方程为，直线的方程为……8分
联立方程，消去y，可得
所以……10分
因为，所以，即……12分
所以.……14分
由（1）可知，，
代入整理可得，解得.……16分
所以T能在一条定直线上运动，.……17分
19.【解】（1）由题意知，，所以，，……2分
又因为，得，故双曲线E的方程为.……3分
（2）证明：
①当直线的斜率不存在时，不妨取，此时A，B两点的坐标分别为，，则，即，……5分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
因为直线与圆O相切，所以，即……7分
将代入，得，，，
故
，……9分
又因为，所以，即，
综合上述，可知.……10分
（3）因为的渐近线方程可写为，
将代入，得，所以
，……12分
由（2）可得
又因为，即，所以……14分
所以，……15分
因为直线l与坐标轴不垂直，所以，
因此，所以.……17分