吉林省四平市普通高中2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求定义域问题，要保证式子有意义，分母不等于0，开偶次方被开方数不小于0.
【详解】因为，所以要使式子有意义，则
，解得，即.
所以函数定义域是.故A，C，D错误.
故选：B.
2. 已知命题：，，则命题否定为（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题的否定为，.
故选：B
3. 下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合奇偶函数的定义，根据常见函数的奇偶性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为R，且，故是奇函数；
对于B，函数的定义域为，关于原点不对称，是非奇非偶函数；
对于C，函数的定义域为，且，故是奇函数；
对于D，函数定义域为R，，是偶函数.
故选：D.
4. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的定义可得，即可求解.
【详解】由可得，若，则,故，
故选：B
5. 函数，的值域为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，再代入运算即可.
【详解】由，得，
所以．
故选：C.
6. 已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合幂函数的性质计算即可得.
【详解】因为幂函数图象过定点，即有，
所以，
即的图象经过定点.
故选：B.
7. 若不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解即得.
【详解】由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，
于是，解得，由，得或，因此，且当时，，
所以.
故选：A
8. 已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】若“，，使得成立”则，.即在上恒成立，分离参数利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】当，有.
，，使得成立，等价于，.
即在上恒成立，参变分离可得.
当，，当且仅当时取等号，所以，
故选:C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数在区间上不具有单调性，则的值可以是（ ）
A. 9B. -1C. -5D. 0
【答案】BD
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到，即可得到答案.
【详解】由题意的对称轴为，
由于在区间上不具有单调性，
故，解得，
所以AC错误，BD正确.
故选：BD.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断AC，利用特例法判断B，利用作差法判断D.
【详解】对于A，可知，不等式两侧同乘以，有，故A正确；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，由，知，，由不等式同向可加性的性质知C正确；
对于D，利用作差法知，由，，
知，，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A. 是奇函数B. 在上单调递增
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D.
【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为−1,1，所以函数为奇函数，故A正确；
对B，令，则，，可得x1−x21−x1x2+1=1+x11-x21−x1x2>0，所以，
由函数性质可得，即，所以在−1,1上单调递增，故B正确；
对于C，令，可得，所以，即，故C正确；
对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则的真子集的个数是_________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数.
【详解】依题意，，所以的真子集的个数是.
故答案：3
13. 若，，则是的______条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处）
【答案】既不充分也不必要
【解析】
【分析】先求得，可判断结论.
【详解】∵，∴.
∵既不能推出，也不能被推出，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要.
14. 已知，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对条件中的式子进行转化得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
由基本不等式得，
则，
解得，当且仅当取等号.
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式；
（2）根据分段函数解析式计算可得.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，，
所以.
16. 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案；
（2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当时，集合，
又或，则，
或；.
【小问2详解】
若，且“”是“”的充分不必要条件，
⫋，则
解得，
故的取值范围是.
17. （1）已知，，求的取值范围．
（2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可；
（2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，即．
（2）由，
则．
当且仅当即时取到最小值16．
若恒成立，则．
18. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】（1）
（2）公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
根据题意得，
当时，，
当时，，
故
【小问2详解】
当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
19. 对于函数，，以及函数，．若对任意的，总有，那么称可被“替代”（通常）．
（1）试给出一个可以“替代”函数的函数；
（2）试判断是否可被直线， “替代”．
【答案】（1）
（2）可以
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到，即可写出一个符合条件的；
（2）根据已知条件求出的值域即可.
【小问1详解】
，根据定义，
可解得，
因而就是满足不等式的一个函数；
【小问2详解】
，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，
，易知在单调递减，在单调递增，
当时，，
当时，，
，
，即
可以被直线， “替代”.