2022年高中数学第二章合情推理与演绎推理综合测试新人教B版选修2－2

这是一份2022年高中数学第二章合情推理与演绎推理综合测试新人教B版选修2－2，共13页。
高中推理与证明综合测试题新课标选修（2-2）一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数答案：Ｃ3．在中，，则一定是（　　）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）Ａ．与的假设都错误Ｂ．与的假设都正确Ｃ．的假设正确；的假设错误Ｄ．的假设错误；的假设正确答案：Ｄ6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｃ8．已知，且，则（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）Ａ．假设都是偶数Ｂ．假设都不是偶数Ｃ．假设至多有一个是偶数Ｄ．假设至多有两个是偶数答案：Ｂ10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（　　）①；②；③；④；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列1 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．答案：满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提，　　小前提所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　 结论14．已知，用数学归纳法证明时，等于　　　　　．答案：15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为　　　　　．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图： 设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．答案：三、解答题17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．证明如下：在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．因为面，，所以．又，所以．于是．18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．求证：（1）平面；（2）．证明：（1）取的中点，连结．分别为的中点．为的中位线，，，而为矩形，，且．，且．为平行四边形，，而平面，平面，平面．（2）矩形所在平面，，而，与是平面内的两条直交直线，平面，而平面，．又，．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为．因此本题只需证明．要证明上式，只需证明，两边同乘以正数，得．因此，只需证明．上式是成立的，所以．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．证明：假设都是非负实数，因为，所以，所以，，所以，这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．21．设，（其中，且）．（1）请你推测能否用来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由，又，因此．（2）由，即，于是推测．证明：因为，（大前提）．所以，，，（小前提及结论）所以．22．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．解：当时，，即，所以．而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．（1）当时，已证；（2）假设当时，不等式成立，即．则当时，有．因为，所以，所以．所以当时不等式也成立．由（1）（2）知，对一切正整数，都有，所以的最大值等于25．高考资源网高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（　　）Ａ．“若，则”类比得出“若，则”Ｂ．“”类比得出“”Ｃ．“”类比得出“”Ｄ．“”类比得出“”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法答案：Ｂ6．要使成立，则应满足的条件是（　　）Ａ．且 Ｂ．且Ｃ．且 Ｄ．且或且答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．答案：Ａ10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比答案：Ｃ11．已知，，，则以下结论正确的是（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定答案：Ｂ12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ高考资源网二、填空题13．已知，则中共有　　　　项．答案：14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．答案：当时，有15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．答案：16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．答案：三、解答题17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．设，则．是偶数，是奇数，这与已知是偶数矛盾．由上述矛盾可知，一定是偶数．18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．证明如下：设等差数列的公差为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．高考资源网19．已知，且，求证：．证明：因为，且，所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，即证，从而只需证明，即，因为，，所以成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证明：．证明：因为，所以（此处省略了大前提），所以（两次省略了大前提，小前提），同理，，，三式相加得．（省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：．用数学归纳法证明如下：（1）当时，，猜想成立；（2）假设当时，猜想成立，即，则当时，，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：假设存在，使得所给等式成立．令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．（1）当时，由以上可知等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，则当时，．由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．高考资源网