2025年中考数学一轮复习讲与练第1章第1讲 实数(含二次根式）（考点精析+真题精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第1讲实数(含二次根式）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 实数的有关概念
考向二 实数的分类
考向三 无理数的估算
考向四 实数与数轴
考向五 实数的运算
考向六 实数的大小比较
考向七 非负性的运用
考向八 近似数和科学记数法
考向九 二次根式的概念与性质
考向十 二次根式的运算
考向十一 数字规律
第1讲实数(含二次根式）
实数在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点,年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分.
预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。
→➊考点精析←
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求 QUOTE n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
14．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
15．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
16．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
→➋真题精讲←
考向一 实数的有关概念
此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
1．（2023·四川南充·统考中考真题）如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川达州·统考中考真题）的倒数是（ ）
A．B．2023C．D．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）___________．
4．（2023·安徽·统考中考真题）的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
5．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
6．（2023·甘肃武威·统考中考真题）9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
7．（2020·内蒙古中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1B．或2C．D．1
8．（2023·四川广安·统考中考真题）的平方根是_______．
9．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
考向二 实数的分类
实数的分类
10．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·四川遂宁·中考真题）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
12．把下列各数填入相应集合内：
，，4， 1.101001000…， ，π ，0，3%，，-|-3|，
整数集合：{ …}
分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
正数集合：{ …}
13．把下列各数序号分别填入相应的集合内：
①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）
考向三 无理数的估算
无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.
14．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．（2023·山东临沂·统考中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·四川自贡·统考中考真题）请写出一个比小的整数________．
考向四 实数与数轴
1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；
2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.
17．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）

A．B．0C．1D．2
18．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．C．D．
19．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)

20．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．B．C．－2D．
考向五 实数的运算
实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1.
21．（2023·重庆·统考中考真题）计算_____.
22．（2023·重庆·统考中考真题）计算：________．
考向六 实数的大小比较
比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b．
（2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
23．（2023·湖南怀化·统考中考真题）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．
24．（2023·四川成都·统考中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．C．0D．
25．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A．B．C．D．
27．实数+2的整数部分a＝__，小数部分b＝__．
考向七 非负性的运用
直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
28．（2020·广东中考真题）若，则_________．
29．（2020·湖北黄冈·中考真题）若，则__________．
30．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________．
31．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．
32．已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
33．已知实数，，满足，求的值．
34．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知，则的值为_______；
(2)若，为实数，且，求的值；
(3)已知实数， 满足，求的值．
考向八 近似数和科学记数法
用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
a值的确定：1≤|a|