2022年全国高中数学竞赛试题及解析苏教版

这是一份2022年全国高中数学竞赛试题及解析苏教版，共7页。试卷主要包含了求证，已知，圆的两条非直径的圆相交，求证，解方程，已知一点P及两直线l1等内容，欢迎下载使用。
1．求证：sin3θ=4sinθsin( eq \f(π,3)+θ)sin( eq \f(2π,3)+θ)
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．
3．在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住．
4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分．
5．解方程组 eq \b\lc\{(\a\ac(x－y+z=1， ⑴,y－z+u=2， ⑵,z－u+v=3， ⑶,u－v+x=4， ⑷,v－x+y=5． ⑸))
6．解方程：5x2+x－x eq \r(5x2－1)－2=0．
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
8．设△ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C．
9．已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程．
10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．
第二试
1．已知f(x)=x2－6x+5，问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．
3．设0b>c，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论．
解：此正方形有4个顶点，故必有一边在三角形的边上．
设a、b、c边上的高分别为ha、hb、hc，且立于a边上正方形边长为x，
则 eq \f(ha－x,h)= eq \f(x,a)，aha=(a＋ha)x，x= eq \f(aha,a+ha)= eq \f(2S,a+ha)．
现aha=bhb=2S，a>b，于是a＋ha－(b＋hb)=(a－b)＋( eq \f(2S,a)－ eq \f(2S,b))=(a－b)(1－ eq \f(2S,ab))=(a－b)(1－sinC)>0.
∴ a＋ha>b＋hb>c＋hc．
∴ 立于c边上的正方形最大．
第二试
1．已知f(x)=x2－6x+5，问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图．
解：f(x)+f(y)≤0，x2－6x+5+y2－6y+5≤0，(x－3)2+(y－3)2≤8，表示以(3，3)为圆心，2 eq \r(2)为半径的圆及圆内部分．
f(x)－f(y)≥0，x2－6x－y2+6y≥0，(x－3)2－(y－3)2≥0，(x+y－6)(x－y)≥0．
所求图形为阴影部分．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．
证明：不对，如图，作△ABD，及过B、A、D三点的弧，以BD为轴作此弧的对称图形，以D为圆心，AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、C，则四边形ABCD、ABCD都是有一组对边相等，一组对角相等的四边形，其中有一个不是平行四边形．
3．设0